Un Matemático de la Casualidad, o más?

Question

De acuerdo con el documento "Diez Problemas en la Experimental de las Matemáticas",

$$\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)dx \quad = \quad \frac{\pi}{8}\color{blue}{-7.407 \times 10^{-43}}$$

El artículo entra en algunos detalles sobre cómo calcular la integral numéricamente con el fin de verificar que el lado izquierdo no es estrictamente igual a $\pi/8$, pero no teórico se da una explicación de por qué están tan cerca.

La extremadamente alta precisión para que esta relación se mantiene deja una fuerte sensación de que es algo más que una mera "coincidencia matemática", en el mismo sentido de que no es una coincidencia que $e^{\pi\sqrt{163}}$ es casi un entero.

Estoy en busca de una idea que puede soportar ese sentimiento.

Answer 1

Que se conoce como un "Borwein Integral", nombre de uno de los autores del papel que enlaza.

http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral

Wikipedia tiene algunas referencias que pueden explicar lo que está pasando. Aquí es uno de ellos.

http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf

Yo habría dejado esto como un comentario, pero este sitio requiere el 50 reputación para que.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero he seguido sus consejos "ver [16, cap. 2] para detalles adicionales" (el libro de la Experimentación en Matemáticas). En la sección 2.5.2 muestran que el coseno del producto (sin el factor de $\cos 2x$) es igual a $\prod_{k=0}^{\infty} \operatorname{sinc}\left(\frac{2x}{2k+1}\right)$, cuya integral puede ser calculada usando la transformada de Fourier, dando una respuesta $\pi_1$ lo cual es un poco menos de $\pi/4$.

(En última instancia, esto es debido a que la transformada de Fourier de la función de sinc es la función característica de un intervalo simétrico alrededor del origen, y si usted toma el producto de convolución de varias de estas funciones, "roer" su camino en el origen si usted tiene suficiente de muchos factores suficientemente grandes intervalos, haciendo que el valor de no menos de $1$. Consulte la página 22 en el papel, y esta respuesta en MO; no te pierdas los comentarios!).

Para la integral $\pi_2$ (con el factor de $\cos 2x$), no dan detalles (es un ejercicio en la página 124 para demostrar que $\pi_2 < \pi/8$), pero supongo que es bastante similar. Para ver por qué la desviación de $\pi/8$ se convierte en tan pequeñita, uno tendría que funcionar exactamente lo que el correspondiente sinc producto está en ese caso. Tal vez si esperas un rato, alguien va a hacerlo y dar una mejor respuesta aquí.