¿Por qué estoy modelo de aprendizaje de la teoría?

Question

Esta es una especie de gran squooshy pregunta (o una serie de preguntas), que voy a tratar de arrojar más preciso. Disculpas si no lo logro.

Contexto: soy un aficionado a la teoría de conjuntos/categoría teoría entusiasta, con especial interés en estratificado conjunto de teorías. Mi conocimiento es sustancial en lo extraño de los puntos, pero no se muy bien redondeado. Debido a la ubicuidad de hablar de modelos en la literatura, parecía una cosa que debe aprender, pero estoy teniendo un tiempo difícil porque tengo la sensación de no comprender ciertos aspectos informales de "modelo de la teoría en la práctica", a pesar de que técnicamente entender acerca de la primera mitad de David Marcador del "Modelo de la Teoría: Una Introducción", por ejemplo.

Preguntas: ¿cuáles son las grandes preguntas que uno se quiere contestar con modelos que podrían ser inalcanzables o muy dolorosas, que sin ella? Deduzco preguntas de consistencia son importantes, pero hay otros principales? ¿Cuándo uno quiere saber acerca de la segunda orden de las propiedades de elementarily de los modelos equivalentes, y por qué? Hay incluso general, las respuestas a estas preguntas, o me estoy preguntando cosas que me tendría que preguntar, decir, otro conjunto teórico acerca de conseguir cualquier cosa informativo?

Espero que esto no sea demasiado baja una pregunta; estoy agitando un poco de articular más allá de "es genial, pero ¿por QUÉ???"

Answer 1

Esa es una pregunta muy interesante en el que podríamos hablar durante días, pero espero que en esta respuesta podría decir suficientes cosas para convencerte de la importancia del modelo de la teoría.

La gran importancia del modelo de la teoría de venir de los hechos que muchas de las estructuras matemáticas puede ser descrito como modelos de primer orden de la teoría. Una de las cosas más útiles modelo de la teoría de hacer para nosotros es traducir la propiedad de las estructuras en las propiedades de las teorías (es decir, conjuntos de fórmulas), que son generalmente más fáciles de demostrar a la naturaleza discreta de las teorías. Usando el modelo de la teoría podemos probar un montón de cosas acerca de la matemática las estructuras de una manera muy fácil teniendo en cuenta las estructuras de los modelos de la teoría.

He aquí un ejemplo: cada gráfico de $G$, incluso uno infinito, puede $k$-color iff cada finito sub-grafo puede ser $k$-colered. Este teorema es claramente trivial para grafos finitos, sin embargo, la única prueba de que sé que de este hecho se utiliza el teorema de compacidad.

Mucho de la geometría algebraica (si no todos) a través de una algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ se puede reducir al estudio de la geometría algebraica $\mathbb C$. Eso es debido a que $\mathbb C$ $\mathfrak c$- categórica del modelo de la teoría de la algebraicamente cerrado campo de la característica $0$, y así todos los de primer orden de la propiedad es verdadera para cada algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ fib es cierto para $\mathbb C$.

Modelo de la teoría de dar un montón de técnicas para construir modelos. Esto es sumamente útil para demostrar la existencia de estructuras de determinado tipo, por ejemplo algebraicas, que puede ser descrito como un modelo de primer orden de la teoría. En el otro extremo, estas técnicas también pueden ser utilizados con el fin de demostrar que algunos de los resultados no tienen en general, mediante la creación de contraejemplos.

Como dije al principio hay más cosas que podría decir acerca de esto, pero espero que esto sea suficiente para explicar la forma en que el modelo de la teoría es muy importante, especialmente para su aplicación en las matemáticas.

Answer 2

Una ventaja es que el modelo de la teoría aclara el sector informal de la distinción entre los aspectos sintácticos y semánticos de la matemática moderna, haciendo posible dar soluciones precisas a los problemas que seguía intratable antes de la llegada del modelo de la teoría. Mi favorito (y estoy seguro de que algunos editores están de acuerdo :-) ) es Abraham Robinson solución de los 300-año-viejo problema de la consistencia de infinitesimals. En el marco del modelo de la teoría uno puede dar un significado preciso a términos como el de la no-estándar de los modelos de análisis y con éxito formalizar siglos de trabajo por los pioneros del análisis que el pensamiento de la derivada como un cociente de infinitesimals y de la integral como una suma infinita.