La probabilidad de la respuesta correcta

Question

Yo estaba aprendiendo de la prueba, cuando me percaté de que el problema que yo no puedo lidiar con:

Tenemos un algoritmo que da la respuesta correcta con una probabilidad de $p>\frac{1}{2}$. Por simplicidad, supongamos que la respuesta es un número entero. Para aumentar la probabilidad de obtener el resultado correcto, podemos ejecutar este algoritmo $n$ veces y tomamos la mediana de los resultados. Estimación de la probabilidad de obtener la respuesta correcta.

Tal vez Markov o la desigualdad de Chebyshev va a ser útil? Pero no sé cómo el enfoque que toma este mediana. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Para la mediana de no dar la respuesta correcta, debe haber al menos $\lceil \frac{n+1}2\rceil$ resultados que son demasiado bajos o, al menos, $\lceil \frac{n+1}2\rceil$ los resultados son demasiado altos. No saber si "demasiado alto" y "muy bajo" ocurren con la misma probabilidad, sólo podemos dar una baja obligada por la probabilidad de que la mediana da la respuesta correcta y esta enlazado está dada por la probabilidad de que más de $\frac n2$ éxitos en un $(n,p)$ experimento de Bernoulli.

Answer 2

La solución correcta es $\xi$ y el resultado de las repeticiones ser $x_1,x_2,\ldots,x_n$ respectivamente. $$\Pr{(x_i=\xi)} = p \quad \forall i$$ Esto hace que el total de experimento de una distribución binomial con $n$ e intentos de $p$ probabilidad de éxito en cada ensayo.

Si $\xi$ es la mediana de la $n$ ensayos, entonces las condiciones necesarias y suficientes son $$\Pr{(x_i\geq\xi)} = 0.5 \quad \& \quad\Pr{(x_i\leq\xi)} = 0.5 $$

La probabilidad de que esto ocurra es la respuesta que estás buscando es decir $\Pr(\Pr{(x_i\geq\xi)} = 0.5)$. Con el fin de hacer esto, usted necesita saber que la asimetría de sus errores es decir, cuáles son las posibilidades de que la salida va a ser mayor que la respuesta real . Los datos dados es insuficiente.

Un enlace puede ser dado por la observación de que, si de $n$ observaciones, si más de la mitad de los valores son iguales, entonces son también igual a la mediana. Así, el límite inferior será dada por la probabilidad de que al menos la mitad de las respuestas son correctas. Puede ser calculado directamente por el uso de CDF de la distribución binomial con parámetros de $(n,p)$