Cómo muchas de las soluciones no $x^{\sqrt{5}}=1$?

Question

Debido a $x^2=1$ tiene 2 soluciones. $x^3=1$ tiene 3 soluciones en los números complejos. Así debería de ser $x^{\sqrt{5}}=1$ tienen 2 y un poco de la solución?!!!

O tiene infinitas soluciones? Si decimos que la solución a $x^n=1$ es ir a una fracción $m/n$ alrededor de un círculo para cualquier $m$.

Si vamos un 'fracción' $m/\sqrt{5}$ alrededor de un círculo para cualquier $m$ este es un número infinito de soluciones!

¿Qué está mal aquí? Existe la notación de potencias de auto consistente?

Answer 1

Añadido posterior: voy a dejar esta respuesta como es, para qué vale. Pero Cristiano Blatter, el riguroso análisis deja claro que a veces lo que parece seguro decir que no es nada. Me saltó demasiado rápido formales de manipulaciones, con vistas al hecho de que uno debe tratar primero con lo que se entiende por una expresión de la forma $x^\alpha$ cuando el poder no es un número entero. (Fin de la edit.)

Desde $1=e^{2\pi in}$ si y sólo si $n\in\mathbb{Z}$, podemos decir con seguridad que

$$x^\sqrt5=1\iff x=e^{2\pi in/\sqrt5}=\cos\left(2\pi n\over \sqrt5\right)+i\sin\left(2\pi n\over\sqrt5\right)\quad\text{with }n\in\mathbb{Z}$$

Por ejemplo, $x\approx-0.9455+0.3256i$ es una solución (correspondiente a $n=1$).

Como para $x^\sqrt5=1$ tener "$2$ y un poco de soluciones" en analogía a $x^2$ $x^3$ tener $2$ $3$ soluciones, respectivamente, podría también decir que el $x^0=1$ $0$ soluciones, o $x^{-1}=1$ $-1$ soluciones?

Answer 2

Se puede decir que tiene una solución real, porque se toma el logaritmo de ambos lados, y le da

$$\sqrt 5\log x=0$$

así

$$x=1$$

es una solución.

Realmente no se puede hablar de las soluciones para $x$ negativo o complejo si no se ha definido cómo calcular potencias de números complejos.

Una forma de hacerlo que es la definición de un complejo logarithme (que no está definido en todos los $\mathbb C$), pero existen varias definiciones para el logaritmo, y usted tiene que añadir un poco de contexto, si quiere estudiar el número de soluciones en $\mathbb C$.

Answer 3

Antes de que podamos ver en la ecuación tenemos que hacer sentido de la palabra $x^{\sqrt{5}}$. Para exponentes racionales ${p\over q}$ podemos definir $x^{p/q}:=\root q\of {x^p}$. Como $\sqrt{5}$ es irracional tendríamos que elegir una secuencia $(r_n)_{n\geq1}$ de los números racionales que converge a $\sqrt{5}$, y la esperanza de que el límite de $\lim_{n\to\infty} x^{r_n}=:x^{\sqrt{5}}$ existe, y es independiente de la secuencia que se elija.

Ya que algunos limitar el procedimiento se llama de todos modos uno toma una forma más elegante de la ruta a los poderes arbitrarios reales (o complejos) de los exponentes. Después de la introducción de la función exponencial $\exp:\>{\mathbb R}\to{\mathbb R}_{>0}$ $\log:\>{\mathbb R}_{>0}\to{\mathbb R}$ uno define $$x^\alpha:=\exp(\alpha\log x)\qquad (x>0,\quad\alpha\in{\mathbb R})\ .\tag{1}$$ De esta manera $(x,\alpha)\mapsto x^\alpha$ es continua en sus variables $x$ $\alpha$ donde definido, y obedece a las conocidas reglas de energía "álgebra". Si queremos $x^\alpha=1$, en este contexto, esto implica $\alpha\log x=0$ o $(\alpha=0)\vee(\log x=0)$. Como $\alpha=\sqrt{5}$ en el ejemplo a la mano, nos quedamos con $\log x=0$, por lo tanto $x=1$, como única solución.

En el complejo entorno de la definición de la fórmula de $(1)$ se extiende a $$z^\alpha:={\rm pv}\bigl(z^\alpha\bigr):=\exp\bigl(\alpha\,{\rm Log}(z) \bigr)\qquad (z\in\Omega,\quad\alpha\in{\mathbb C})\ ,$$ donde $\Omega$ indica el plano complejo con el eje real negativo eliminado. Cualquier $z\in\Omega$ puede ser escrita en la forma $$z=r\,e^{i\phi},\qquad r>0,\quad |\phi|<\pi\ ,$$ y uno ha $${\rm Log}(z):=\log r+i\phi\ .$$ La ecuación dada a continuación, asciende a $$\sqrt{5}(\log r+i\phi)=2k\pi i, \qquad k\in{\mathbb Z},\quad|\phi|<\pi\ .$$ Esto conduce a $\log r =0$, por lo tanto $r=1$, y a $$\phi={2k\over\sqrt{5}}\pi\ .$$ La condición de $|\phi|<\pi$, implica que, necesariamente,$k\in\{-1,0,1\}$, de manera que podemos obtener tres soluciones en todos.

Answer 4

En los números complejos, definimos $x^a=e^{a \log x}$ El logaritmo es multivalor porque $e^{2 \pi i}=1$, lo $e^b = e^{2n\pi i+b}$ para cualquier entero $n$. Dado que el $x=1$ es una solución, entonces se $x=1+\frac {2n\pi i}{ \sqrt 5}$ también es una solución para cualquier entero $n$.. Sí, hay un número infinito de soluciones.