$p$ -grupos en los que los centralizadores son normales

Question

Dejemos que $|G|=p^n$ y $p$ un primo y que $|G:C_G(x)|\leq p$ para todos $x\in G$ . Prueba:

$(a)~C_G(x)\trianglelefteq G$ para todos $x\in G;$

$(b)~G’\leq Z(G);$

${\color{red}{{(c)~|G’|\leq p}.}}$

Editar: Ahora sólo estoy confundido sobre $\bf (c)$ . Para $\bf(c)$ Las bonitas respuestas que aparecen a continuación no están completas. Me dijeron que $\bf (c)$ tiene algo que ver con este documento ( o aquí Knoche,H.G.: Sobre el concepto de clase de Frobenius en grupos nilpotentes , Matemáticas. Z. 55 (1951), 71-83. ), pero la lectura de todo el documento me resultaría difícil, ya que no soy germanoparlante; más lamentablemente, ni siquiera he podido averiguar qué parte debo leer . ¿Cómo ayuda ese papel? Soy bastante principiante en la teoría de grupos, y estaría agradecido si pudiera recibir su instrucción.

Answer 1

Para $(a)$ Lo que hay que mostrar es algo más general: cualquier subgrupo de índice $p$ en un $p$ -grupo $G$ es un subgrupo normal de $G$ .

Para $(b)$ señalar que $G/C_G(x)$ es abeliano para todo $x$ así

$G'\leq C_G(x)$ (por definición $G'$ está contenida en todo subgrupo normal $N$ de $G$ tal que $G/N$ es abeliana).

Y luego utilizar la igualdad :

$\bigcap_{x\in G}C_G(x)=Z(G)$ .

Para $(c)$ El subgrupo Frattini se define como la intersección de todos los subgrupos máximos. Tal vez deberías quedarte en lo simple. Aunque no veo por qué, me inclino a pensar que quieres demostrar que $G=Z(G)$ o $|Z(G)|=p$ .

Answer 2

Para $(c)$ se necesita el Satz 2 al final de la página 84; esto se aplica en caso de que el índice del normalizador de cualquier elemento de $G$ es como máximo $p$ (que en el documento se expresa como $r=1$ ).

El hecho de que $r\leq1$ se deduce inmediatamente de la premisa de que $|G:C_G(x)|\leq p$ para todos $x\in G$ . El caso separado que $r=0$ es fácil ya que entonces $G$ es abeliana.

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Como en el papel, dejemos $r$ sea el menor número entero para el que $|G:N_G(x)|\leq p^r$ es válida para todos los $x\in G$ , donde $N_G(x)$ denota el normalizador de $x$ en $G$ . Porque $C_G(x)\subset N_G(x)$ y $|G:C_G(x)|\leq p$ para todos $x\in G$ se deduce que $r\leq1$ . He aquí una paráfrasis aproximada del Satz 2 y la mitad correspondiente de la prueba:

Teorema 2. Dejemos que $G$ sea un finito $p$ -grupo. Entonces $r=1$ si y sólo si $|G'|=p$ .

Prueba. Dejemos que $K:=[A,B]\neq e$ sea un conmutador de dos elementos de $G$ y que $[A',B']$ sea otro conmutador distinto de $e$ con $A',B'\in G$ . A continuación, elegimos otro elemento $A''\in G$ que no está contenida en $N_G(B)$ y $N_G(B')$ . Bajo estos supuestos $A''$ se encuentra en $A^iN_G(B)$ para algunos $i\neq0\pmod{p}$ y, por tanto, porque $G'\subset Z(G)$ obtenemos $$[A'',B]=[A,B]^i=K^i.$$ Del mismo modo, existe $j\neq0\pmod{p}$ tal que $$[A'',B']=[A'',B]^j=K^{ij},$$ y finalmente $$[A',B']=[A'',B']^k=K^{ijk}.$$ Vemos que el conmutador de un par arbitrario de elementos del grupo puede escribirse como una potencia de un mismo elemento $K$ . Como cada $p$ -el poder radica en $Z(G)$ , también el $p$ -ésima potencia de un conmutador es igual a $e$ . Por lo tanto, $G'$ es cíclico de orden $p$ .

[Esto demuestra una mitad del teorema, la otra mitad la he omitido].

En el caso restante que $r=0$ , claramente $G$ es abeliana y por tanto $|G'|=1$ .

Answer 3

Para la parte (a), puedes utilizar este corolario.

Corolario. Si $G$ es un grupo finito de orden $n$ y $p$ es el primo más pequeño que divide a $|G|$ entonces cualquier subgrupo de índice $p$ es normal.

Aquí si $|G:C_{G}(x)|=p$ entonces por el corolario $C_{G}(x)\unlhd G$ .