Qué es la suma de esta serie: $\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$

Question

¿Puede alguien ayudarme con esto?

Cuál es la suma de esta serie: $\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$

Lo conseguí después de enchufar $x=-1$ en una serie de Fourier

Gracias.

Answer 1

Sustituir $u=k-1$ . Entonces la suma se convierte en:

$$\sum_{u=0}^\infty \frac{(-1)^u}{2u+1}$$

Que podemos reconocer como el Fórmula de Leibniz para $\frac{\pi}{4}$ .

Así, su resultado es $$\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}.$$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} \color{#66f}{\large\sum_{k = 1} {\pars{-1}^{k - 1} \over 2k - 1}}& =\sum_{k = 1}^{\infty}\pars{-1}^{k - 1}\int_{0}^{1} t^{2k - 2}\,\dd t \\ & = \int_{0}^{1}\sum_{k = 1}^{\infty}\pars{-t^{2}}^{k - 1} \,\dd t = \int_{0}^{1}{1 \over 1 -\pars{-t^{2}}}\,\dd t \\[3mm] & = \int_{0}^{1}{\dd t \over 1 + t^{2}} = \color{#66f}{\large{\pi \over 2}} \end{align}