¿Qué significa la conjetura de Hodge?

Question

He leído en Internet que según el Conjetura de Hodge una cierta forma diferencial armónica en una variedad algebraica proyectiva no singular es una combinación lineal racional de las clases de cohomología de los ciclos algebraicos. ¿Podría alguien explicarme cuál es esa forma diferencial concreta? ¿Y cómo se define la clase de cohomología de los ciclos algebraicos? He leído el libro de Atiyah y McDonald sobre álgebra conmutativa, dos primeros capítulos de "Algebraic geometry and Arithmetic curves" de Liu y grupos fundamentales sobre topología algebraica.

Answer 1

En primer lugar, la conjetura de Hodge no se refiere a una forma diferencial concreta. Dice que cualquier forma diferencial que satisfaga ciertas condiciones será una $\mathbb{Q}$ -combinación lineal de formas algebraicas. En son algunas formas particulares que satisfacen esas condiciones pero no se ha demostrado que sean una combinación lineal de este tipo. 1 Sin embargo, tengo la impresión muy poco informada de que el caso más difícil de la conjetura de Hodge no son esos casos, sino más bien la posibilidad de que alguna forma diferencial pueda satisfacer las condiciones de Hodge sin ninguna buena razón, y que dicha forma pueda resultar ser un contraejemplo.

Es difícil responder a esta pregunta sin conocer tus antecedentes. Voy a suponer que has tenido un buen curso de geometría diferencial, y que sabes lo que es un colector complejo.

Formas diferenciales y submanifolds Sea $X$ sea una variedad orientada compacta (todavía nada compleja) y sea $Z$ sea una submanifold cerrada orientada compacta. Sea $n=\dim X$ y $k=\dim Z$ . Escriba a $\Omega^\ell(X)$ para el espacio vectorial de formas diferenciales sobre $X$ de grado $\ell$ . Escriba a $Z^{\ell}(X)$ para las formas cerradas, $B^{\ell}(X)$ para $d \Omega^{\ell-1}(X)$ y $H_{DR}^{\ell}(X)$ para la cohomología deRham $Z^{\ell}(X)/B^{\ell}(X)$ .

Tenemos un mapa lineal $Z^k(X) \to \mathbb{R}$ dado por $\eta \mapsto \int_Z \eta|_Z$ . Este mapa desciende hasta $H_{DR}^k(X)$ porque $\int_Z (d \alpha)|_Z = \int_Z d (\alpha|_Z) = \int_{\partial Z} \alpha|_{\partial Z} =0$ . (Recuerde que $\partial Z=\emptyset$ .)

Por dualidad de Poincare, todo mapa lineal $H_{DR}^k(X) \to \mathbb{R}$ es de la forma $\eta \mapsto \int_X \omega \wedge \eta$ para algunos $\omega \in Z^{n-k}(X)$ . Además, cambiar $\omega$ por una clase en $B^{n-k}(X)$ no cambia este mapa, por lo que se puede pensar en $\omega$ como clase en $H_{DR}^{n-k}(X)$ . (El artículo de Wikipedia sobre la dualidad de Poincare es menos claro de lo que me gustaría en este punto. ¿Sugerencias?)

Sea $\omega_{Z \hookrightarrow X}$ sea la clase en $H_{DR}^{n-k}(X)$ tal que $$\int_Z \eta|_Z = \int_X \omega_{Z \hookrightarrow X} \wedge \eta \quad (\dagger)$$ para cualquier $\eta \in Z^k(X)$ .

Fórmulas explícitas para $\omega_{Z \hookrightarrow X}$ en los textos de geometría diferencial. Para nuestros propósitos, el hecho importante es $(\dagger)$ . Una cosa que es bueno saber es que la forma diferencial $\omega_{Z \hookrightarrow X}$ puede tomarse como cero fuera de una vecindad de $Z$ .

Hemos definido $\omega_{Z \hookrightarrow X}$ estar en $H_{DR}^{n-k}(X)$ . De hecho, siempre estará a imagen de $H^{n-k}(X, \mathbb{Z})$ en $H_{DR}^{n-k}(X)$ . No intentaré explicarlo, ya que incluso la definición de este mapa requiere una buena cantidad de topología algebraica y geometría diferencial. Resulta que, para $X$ compacta y orientada, $\eta$ es a imagen de $H^p(X, \mathbb{Z})$ sólo si $\int_{\alpha} \eta \in \mathbb{Z}$ cuando el ciclo $\alpha$ se ejecuta sobre una base de $H_p(X, \mathbb{Z})$ . Esto es no la definición estándar, pero podría ser la más elemental. Por cierto, una de las preguntas sin respuesta más votadas en math.SE trata sobre cómo trabajar con esta condición.

Múltiplos complejos y clases algebraicas Supongamos ahora que $X$ es una variedad compleja. Moralmente hablando, la conjetura de Hodge describe qué formas diferenciales pueden aparecer como $\omega_{Z \hookrightarrow X}$ con $Z$ a complejo submanifold de $X$ .

Por lo tanto, en esta sección de la respuesta, dejemos que $Z$ sea un submanifold complejo de $X$ . Sean las dimensiones de $Z$ y $X$ , como variedades reales , sea $2k$ y $2n$ . Discutiremos las condiciones que $\omega_{Z \to X}$ debe obedecer. En la siguiente sección, enunciaré la conjetura de Hodge, que es un poco más técnica de lo que se podría suponer en esta sección.

En primer lugar, como se ha descrito anteriormente, $Z$ debe estar en la imagen de $H^{2n-2k}(X, \mathbb{Z}) \to H_{DR}^{2n-2k}(X)$ .

Desde $X$ es una múltiple compleja, tiene sentido multiplicar un elemento del haz tangente por un número complejo, por lo que el grupo multiplicativo $\mathbb{C}^{\times}$ actúa sobre $T_{\ast} X$ . Pensar en formas diferenciales como formas multilineales en $T_{\ast} X$ el grupo $\mathbb{C}^{\times}$ también actúa sobre $\Omega^{\ell}(X)$ . Una forma diferencial $\eta$ se denomina $(p,p)$ formulario si $a(\eta) = |a|^{2p} \eta$ para $a \in \mathbb{C}^{\times}$ .

Probablemente debería explicar el origen de esta terminología. Si tensorizamos el espacio vectorial de $\ell$ -forma con $\mathbb{C}$ entonces la acción de $\mathbb{C}^{\times}$ diagonaliza. Tenemos $\Omega^{\ell}(X) \otimes \mathbb{C} = \bigoplus_{p=0}^{\ell} \Omega^{p, \ell-p}(X)$ donde $\eta$ está en $\Omega^{p, q}(X)$ si $a(\eta) = a^p \overline{a}^q \eta$ . Esta idea será seguramente importante en cualquier demostración de la conjetura de Hodge, pero para entender el enunciado no es estrictamente necesario este párrafo.

Resulta que siempre podemos tomar $\omega_{Z \to X}$ ser un $(n-k,n-k)$ -forma. (Recordemos que $\omega_{Z \to X}$ sólo se define modulo formas exactas, por lo que no debería decir que es una forma diferencial particular). Esquema de la prueba: Porque $Z$ es un submanifold complejo, la acción de $\mathbb{C}^{\times}$ conserva $T_{\ast} Z$ en $T_{\ast} X$ . También se puede demostrar que una forma de dimensión superior en un $m$ -es siempre una $(m,m)$ -forma. Si rastreas los efectos de esto, obtienes $$\int_X a(\omega) \wedge a(\eta) = \int_X a(\omega \wedge \eta) = |a|^{2n} \int_X \omega \wedge \eta$$ y también $$\int_X \omega \wedge a(\eta) = \int_Z a(\eta)|_Z = \int_Z a(\eta|_Z) = |a|^{2k} \int_Z \eta = |a|^{2k} \int_X \omega \wedge \eta.$$ En la segunda igualdad de esta última cadena de igualdades es donde utilizamos que $Z$ es un submanifold complejo.

Así que $\int_X a(\omega) \wedge a(\eta) = |a|^{2n-2k} \int_X \omega \wedge a(\eta)$ . De esto se deduce que podemos disponer que $a(\omega) = |a|^{2n-2k} \omega$ . $\square$

Así que una suposición razonable de lo que la conjetura de Hodge podría decir es:

( No es la conjetura de Hodge ) Una clase de cohomología $\omega$ en $H^{2n-2k}_{DR}(X)$ es de la forma $\omega_{Z \to X}$ para una submanifold compleja $Z$ sólo si $\omega$ puede representarse mediante un $(n-k,n-k)$ -forma y yace a imagen de $H^{2n-2k}(X, \mathbb{Z}) \to H_{DR}^{2n-2k}(X)$ .

La conjetura real de Hodge La conjetura real de Hodge es

( La conjetura de Hodge ) Dejemos $X$ ser proyectivo. Una clase de cohomología $\omega$ en $H_{DR}^{2n-2k}(X)$ es de la forma $\sum a_i \omega_{Z_i \to X}$ para algunas subvariedades complejas $Z_i$ de $X$ y para algunos $a_i \in \mathbb{Q}$ si y sólo si $\omega$ puede representarse mediante un $(n-k,n-k)$ -forma y yace a imagen de $H^{2n-2k}(X, \mathbb{Q}) \to H^{2n-2k}_{DR}(X)$ .

Así que tenemos los siguientes cambios. En la mayoría de los casos, no tengo una fuerte intuición de por qué estos cambios eran necesarios, pero esta es la versión que ha estado abierta durante décadas y vale la pena $10^6$ dólares. Creo que hay contraejemplos conocidos que indican la necesidad de cada uno de estos cambios, pero no los conozco.

• $X$ debe ser proyectivo, lo que significa que es un submanifold cerrado de $\mathbb{CP}^N$ para algunos $N$ . Hay muchos teoremas que son válidos para las variedades proyectivas y no para las variedades complejas compactas más generales.

• Se nos permite una combinación lineal de varios $Z_i$ 's. Esto se debe a que las condiciones de $(n-k,n-k)$ -forma y de yacer a imagen de $H(X, \mathbb{Z})$ son ambas cerradas bajo adición, y la condición de representar un submanifold complejo no lo es. (Existen varias condiciones de positividad para esta última).

• Permitimos que el $Z_i$ sean subvariedades y no submanifolds complejos. Esto significa que las $Z_i$ están definidas localmente por la desaparición de funciones holomorfas, pero se permite que tengan singularidades.

• Utilizamos $\mathbb{Q}$ en lugar de $\mathbb{Z}$ . La necesidad de esta modificación se puso de manifiesto en

Atiyah e Hirzebruch, Algebraic Cycles on Complex Manifolds, Topología 1 (1962) p. 25-45

Observación sobre la explicitud Si se le da un colector complejo $X$ y una forma diferencial $\omega$ en grado $2p$ comprobando si $\omega$ es un $(p,p)$ -forma es sencilla. Comprobar si $\omega$ está en $H(X, \mathbb{Q})$ equivale a comprobar $\int_{\alpha} \omega \in \mathbb{Q}$ para ciclos $\alpha$ sobre una base de $H_{2p}(X, \mathbb{Z})$ . Como, en general, las integrales sólo pueden calcularse numéricamente, y como no existe ninguna prueba para saber si un número en coma flotante es racional, esto puede resultar muy difícil. La misma situación se produce a la inversa si se triangula $X$ y dar una clase en $H^{\ast}(X, \mathbb{Q})$ como un cociclo para la triangulación: En este caso, es fácil ver que el ciclo está en $H^{\ast}(X, \mathbb{Q})$ pero con la condición de que sea representable por un $(p,p)$ es equivalente a que ciertas integrales desaparezcan. Cuando dije que alguna forma podría satisfacer las condiciones de Hodge sin ninguna buena razón, estaba pensando en la posibilidad de que alguna integral complicada fuera un número racional / fuera cero sin ninguna buena razón. Creo que debe quedar claro que esto es difícil de descartar.

Nota 1: Estoy pensando en las conjeturas estándar de Grothendieck. Por ejemplo, la siguiente es la conjetura C de Grothendieck: Sea $X$ ser proyectivo. Por Kunneth, tenemos $H_{DR}^{m}(X \times X) = \bigoplus_i H_{DR}^{i}(X) \otimes H_{DR}^{m-i}(X)$ . Sea $\pi_{i,j}$ sea la proyección $H_{DR}^{i+j}(X \times X) \to H_{DR}^i(X) \otimes H_{DR}^j(X)$ . Sea $\Delta \subset X \times X$ sea la diagonal. La conjetura C afirma que $\pi_{i, 2n-i}(\omega_{\Delta \to X \times X})$ es de la forma $\sum a_i \omega_{Z_i \to X}$ . Es relativamente sencillo demostrar que la $\pi_{i, 2n-i}$ preservan las condiciones de la conjetura de Hodge. Pero, aunque demostrar la conjetura C sin duda te daría la titularidad, no creo que este tipo de casos se considere la parte más difícil de la conjetura de Hodge.

Answer 2

Consideremos una variedad de Kähler $X=X_n$ de dimensión $n$ por ejemplo, una variedad algebraica proyectiva.
En particular, es un espacio topológico y, como tal, tiene grupos de cohomología $H^r(X,\mathbb C)$ .

Una forma muy práctica de estudiarlo es a través de la cohomología de De Rham.
Además, la estructura de Kähler (= un tipo especial de estructura riemanniana) en $X$ nos permite definir el espacio vectorial $H^{p,q}$ de formas armónicas de tipo $p,q$ y el resultado agradable es que son representantes canónicos de todas las clases de cohomología: $$H^r_{DR}(X,\mathbb C)=\oplus_{p+q=r}H^{p,q}$$
Permítanme insistir en que los elementos de $H^{p,q}$ son formas diferenciales genuinas, no clases de equivalencia modulo formas exactas. Muy satisfactorio.
Esto se debe a Hodge y es un teorema bien establecido, nada conjetural.
Tiene consecuencias topológicas muy interesantes, por ejemplo que los números de impar Betti $b_{2k+1}=dim_{\mathbb C}H^{2k+1}_{DR}(X,\mathbb C)$ están en paz.
Esto permite demostrar, por ejemplo, que el producto $S^1\times S^3$ no tiene estructura algebraica (aunque tiene una estructura holomórfica descubierta por Hopf), porque su primer número de Betti $b_1=1$ es impar.

La conjetura de Hodge pretende predecir para un colector algebraico proyectivo $X$ qué clases de cohomología (con coeficientes en $\mathbb Q$ en realidad) proceden de subvariedades algebraicas de $X$ .
Existen algunas condiciones necesarias obvias sobre estas clases, ya que por ejemplo las subvariedades algebraicas de $X$ de codimensión $p$ dará clases de cohomología necesariamente en $H^{p,p}$ .
La conjetura de Hodge es que estas condiciones son suficientes.

Como desde luego no quería someterme al ridículo de intentar mejorar o igualar la presentación de Deligne (enlace en el comentario de Parsa), sólo he intentado escribir unas palabras introductorias a su texto.
Ahora está en sus manos: ¡buena suerte!

Answer 3

La conjetura de Hodge simplemente significa que las formas caben dentro de las formas...

Conjetura de Hodge. Sea X una variedad proyectiva compleja no singular. Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X.

Sea X una variedad proyectiva compleja no singular.

Un colector es un espacio topológico (una forma).

Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales

Estamos combinando algo...

de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X.

Una variedad es un conjunto de soluciones de funciones (otra forma de definir una forma).

Así que dice que podemos combinar formas (imaginarias) que son subformas de X para obtener X.