Frecuencia imaginaria en el hamiltoniano bosónico

Question

Estoy haciendo algunos cálculos para mi Tesis que involucran un Hamiltoniano Bosónico de la forma:

\begin {ecuación} H= \sum_ { \vec {k}} \alpha\ a^{+}_{ \vec {k}}a^{+}_{- \vec {k}} + \beta\ a^{+}_{ \vec {k}}a^{-}_{ \vec {k}} + \gamma\ a^{-}_{ \vec {k}}a^{+}_{ \vec {k}} + \delta\ a^{-}_{ \vec {k}}a^{-}_{- \vec {k}} \end {Ecuación}

donde $a^{\pm}$ son operadores de creación y aniquilación y las letras griegas son sólo coeficientes reales que pueden ser funciones de $\vec{k}$ . Este hamiltoniano es hermitiano sólo si $\alpha=\delta$ . Después de diagonalizarlo mediante una transformación de Bogoliuvov

\begin {align*} b^{ \pm }_{ \vec {k}} = \cosh ( \phi )\ a^{ \pm }_{ \vec {k}}- \sinh ( \phi )\ a^{ \mp }_{- \vec {k}} \end {align*}

Se obtiene el resultado habitual

\begin {ecuación} H=E_0+ \sum_ { \vec {k}} \omega ( \vec {k})b^+_{{{} \vec {k}}b^-_{ \vec {k}}=E_0+ \sum_ { \vec {k}} \omega ( \vec {k})\ \hat {n}_{ \vec {k}} \end {Ecuación}

Dónde $E_0$ es una constante que no importa en absoluto y $\omega(\vec{k})$ es

\begin {Ecuación} \omega ( \vec {k})=( \beta + \gamma ) \sqrt {1- \left ( \frac {2 \alpha }{ \beta + \gamma } \right )^2} \end {Ecuación}

Es bastante obvio que cuando $\frac{\beta+\gamma}{2}<\alpha$ la frecuencia se vuelve imaginaria. Esta condición, de vuelta en el Hamiltoniano, significa que los términos no diagonales pesan más que los diagonales. Esto se debe a que la condición del ángulo $\phi$ para diagonalizar $H$ es $\tanh (2\phi) = \frac{2 \alpha}{\beta + \gamma}$ . Esto significa que cuando $2\alpha>\beta + \gamma$ no podemos realizar la transformación de Bogoliubov (Por eso la frecuencia era imaginaria). Así que la pregunta sigue siendo:

¿Cómo se diagnostica? $H$ cuando $2\alpha>\beta + \gamma$ ?

Answer 1

En el análisis de regresión lineal, el sesgo se refiere al error que se introduce al aproximar un problema de la vida real, que puede ser complicado, por un modelo mucho más simple. En términos sencillos, se asume un modelo lineal simple como y*=(a*)x+b* cuando en la vida real el problema empresarial podría ser y = ax^3 + bx^2+c.

Se puede decir que la prueba esperada MSE(Mean squared error) de un problema de regresión puede descomponerse como sigue E(y0 - f*(x0))^2 = Var(f*(x0)) + [Bias(f*(x0))]^2 + Var(e)

f* -> forma funcional asumida para el modelo de regresión lineal y0 -> valor original de la respuesta registrado en los datos de prueba x0 -> valor original del predictor registrado en los datos de la prueba e -> error irreducible Así pues, el objetivo es seleccionar el mejor método para llegar a un modelo que consiga una baja varianza y un bajo sesgo.

Nota: An Introduction to Statistical Learning (Introducción al aprendizaje estadístico), de Trevor Hastie y Robert Tibshirani, ofrece una buena perspectiva sobre este tema.

Answer 2

La diagonalización no tiene sentido si $2\alpha > \beta + \gamma$ porque el hamiltoniano se convierte en algo no físico (sin límites por debajo) en este caso.

Para ver esto, consideremos un Hamiltoniano más simple: \begin {ecuación} H = 2A\, a^+ a^- + B\, (a^+ a^+ + a^- a^-), \end {Ecuación} donde la relación de conmutación canónica $[a^-, a^+] = 1$ sostiene. A continuación, construyamos los operadores "posición" y "momento" como \begin {ecuación} x = \frac {a^+ - a^-}{ \sqrt {2}}, \quad p = \frac {i(a^+ - a^-)}{ \sqrt {2}}. \end {Ecuación} (Obsérvese que $[x,p] = i$ se satisface). Invirtiendo las relaciones anteriores se obtiene \begin {equation} a^ \mp = \frac {1}{ \sqrt {2}} (x \pm ip). \end {Ecuación}

Entonces, el hamiltoniano puede escribirse como \begin {Ecuación} \begin {división} H &= A, (x^2 + p^2 - 1) + B,(x^2 - p^2) \\ &=(A+B)\Nde x^2 + (A-B)\Nde p^2 - A. \end {split} \end {ecuación} Hay que tener $A \ge 0$ y $-A \le B \le A$ para que el hamiltoniano anterior esté acotado por debajo.

Para realizar el mismo análisis en el particular Hamiltonian OP considerado, definamos un nuevo conjunto de operadores de escalera $c_{\vec{k}}^\pm$ y $d_{\vec{k}}^\pm$ de la siguiente manera: \begin {Ecuación} \begin {split} &a_{ \vec {k}}^ \pm = \frac {1}{ \sqrt {2}} (c_{ \vec {k}}^ \pm + d_{ \vec {k}}^ \pm ), \\ &a_{- \vec {k}}^ \pm = \frac {1}{ \sqrt {2}} (c_{ \vec {k}}^ \pm - d_{ \vec {k}}^ \pm ). \end {split} \end {Ecuación} Entonces, el Hamiltoniano de OP puede ser representado como una suma sobre pares no ordenados $\{\vec{k},-\vec{k}\}$ de lo siguiente: \begin {Ecuación} \begin {split} H_{ \vec {k}} &= \alpha\ , c_{ \vec {k}}^+c_{ \vec {k}}^+ + \beta\ , c_{ \vec {k}}^+c_{ \vec {k}}^- + \gamma\ , c_{ \vec {k}}^-c_{ \vec {k}}^+ + \delta\ , c_{ \vec {k}}^-c_{ \vec {k}}^- + (c \rightarrow d), \\ &= \alpha\ , (c_{ \vec {k}}^+c_{ \vec {k}}^+ + c_{ \vec {k}}^-c_{ \vec {k}}^-) + ( \beta + \gamma )\, c_{ \vec {k}}^+c_{ \vec {k}}^- + (c \rightarrow d) + 2 \gamma \end {split} \end {ecuación} donde $(c\rightarrow d)$ denota los términos obtenidos al sustituir $c_{\vec{k}}^\pm$ por $d_{\vec{k}}^\pm$ . Identificación de $\alpha = B$ y $\beta + \gamma = 2A$ se puede ver que el hamiltoniano se vuelve ilimitado por debajo si $2\alpha > \beta + \gamma$ .