Gauss integral con el offset, y otros casos

Question

Considere la Integral de Gauss $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt{\pi}$$

Numéricamente, parece que para cualquier desplazamiento imaginario, ki, $$\int_{ki-\infty}^{ki+\infty} e^{-x^2} \ dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt{\pi}$$

¿Por qué es tan editar y ¿cómo lo demuestras? $\exp(-(x+ki)^2)=\exp(k^2) \times \exp(-x^2 - 2kix)$ crece muy rápidamente, sin embargo, el general integral no cambia, no importa lo que el valor de k es.

Tengo otra pregunta relacionada con la. Parece que para f un polinomio arbitrario con un número par de términos, que esto podría todavía se mantienen, si f(x) obtiene arbitrariamente grandes positiva para x real como el valor absoluto de x se arbitrariamente grande.

$$\int_{ki-\infty}^{ki+\infty} e^{-f(x)} \ dx = \int_{\infty}^{\infty} e^{-f(x)} \ dx$$

Answer 1

Considere la posibilidad de un rectángulo en el plano complejo con vértices en a$z=-R, z=R, z=R+ ik,$$z=-R+ik$.

Deje $ f(z) = \displaystyle e^{-z^{2}}$ e integrar en sentido antihorario alrededor del rectángulo.

A continuación, dejando $R$ ir hasta el infinito,

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \ dx + \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{k} f(R+ it) \ i \ dt + \int_{\infty+ik}^{-\infty+ik} e^{-z^{2}} \ dz + \lim_{R \to \infty} \int_{k}^{0} f(-R+it) \ i \ dt = 0 . $$

Si podemos mostrar que la segunda y la cuarta integrales desaparecer, entonces tenemos el resultado.

Observe que $$ \begin{align} \Big| \int_{0}^{k} f(R+it) \ i \ dt \Big| & \le \int _{0}^{k} \Big|e^{-(R+it)^{2}} \Big| \ dt \\ &= e^{-R^{2}}\int_{0}^{k} e^{t^{2}} \ dt \end{align} $$

que se desvanece como $ R \to \infty$ desde $k$ es finito.

Del mismo modo,

$$ \begin{align} \Big| \int_{0}^{k} f(-R+it) \ i \ dt \Big| &\le \int _{0}^{k} \Big| e^{-(-R+it)^{2}} \Big| dt \\ &= e^{-R^{2}}\int_{0}^{k} e^{t^{2}} \ dt \end{align}$$ which vanishes as $R \to \infty$ por la misma razón.

Answer 2

Bajo el cambio de variable $x+c = y$ donde calculamos el $\mathrm{d}x = \mathrm{d}y$, todo lo que cambia es el rango de/camino de la integración. (En el ejemplo, esto depende del hecho de que el integrando no tiene polos en el plano complejo, es una función completa. Para un ejemplo donde la integral es que no se fija en virtud de la traducción de la ruta, consulte la transformada inversa de Laplace.)

$$\int_{k\mathrm{i}-\infty}^{k\mathrm{i}+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \ \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-(x+k\mathrm{i})^2} \ \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-y^2} \ \mathrm{d}y = \sqrt{\pi}$$

Comentarios sobre los $\exp(-(k \mathrm{i})^2)$, pero descuida que $(x+k \mathrm{i})^2 = x^2 - k^2 + 2 x k \mathrm{i} $ e las $2 x k \mathrm{i} $ es importante. \begin{align*} \exp(-(k \mathrm{i})^2) &= \exp(-(x^2 - k^2 + 2 x k \mathrm{i})) \\ &= \exp(k^2-x^2) \exp(2xk\mathrm{i}) \\ &= \exp(k^2-x^2) (\cos(2xk) + \mathrm{i} \sin(2xk)) \end{align*} donde la última línea utiliza la fórmula de Euler.

Desde polinomios no tienen singularidades, exactamente el mismo cambio de variable en el integrando se demuestra que el valor de la integral es independiente de los imaginarios cambio de la ruta de acceso.