Cuerpo algebraicamente cerrado

Question

Un amigo mío es el estudio de la física en el primer semestre y para su próxima asignación, él tiene que demostrar el siguiente teorema:

Vamos a V de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre un algebraicamente cerrado de campo K. Vamos a ser $f: V\rightarrow V$ un endomorfismo. Entonces existe una base B de V, tal que $Mat_{B,B}(f)$ es una triangular superior de la matriz.

Ahora este teorema realmente tropieza en mí, porque yo conozco a dos pruebas de ello, pero están mucho más allá del primer semestre. Sólo se han introducido primaria/matriz base de la manipulación, de cambio de base teoremas y saben teoremas acerca de la existencia de autovectores y autovalores (K es algebraicamente cerrado, entonces tiene que existir un autovector). Es allí una manera de demostrar este teorema sólo con el mencionado herramientas de trabajo?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Deje $A$ ser la matriz de $f$ con respecto a una base. Usted necesita encontrar una matriz invertible $S$ y una triangular superior de la matriz $T$ tal que $A=STS^{-1}$.

Desde el campo base es algebraicamente cerrado, podemos encontrar un autovalor $\lambda$ y un autovector $v$. Completa $v$ a una base de $V$, decir $\{v=v_1,v_2,\dots,v_n\}$, y deje $S_0=[v_1\ v_2\ \dots\ v_n]$. Entonces $$ S_0^{-1}AS_0= \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^T \\ \mathbf{0} & A_1 \end{bmatrix} $$ para algunos vectores $\mathbf{x}\in K^{n-1}$ y algunos $(n-1)\times(n-1)$ matriz $A_1$. Por hipótesis de inducción, no es invertible $(n-1)\times(n-1)$ matriz $S_1$ tal que $$ T_1=S_1^{-1}A_1S_1 $$ es triangular superior. Considere la posibilidad de $$ \hat{S}_1= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S_1 \end{bmatrix} $$ Entonces $$ \hat{S}_1^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S_1^{-1} \end{bmatrix} $$ y \begin{align} \hat{S}_1^{-1}S_0^{-1}AS_0\hat{S}_1&= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S_1^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^T \\ \mathbf{0} & A_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S_1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S_1^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^TS_1\\ \mathbf{0} & A_1S_1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^TS_1\\ \mathbf{0} & S_1^{-1}A_1S_1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^TS_1\\ \mathbf{0} & T_1 \end{bmatrix} \end{align} es triangular superior.