Polinomios no Tienen factores de uso Racional de la Raíz Teorema pero no!

Question

Me encontré con este polinomio

$X^4 + X^3 + 2X^2 + X + 1$

He intentado factor es el uso Racional de la raíz teorema, pero parece que no hay raíces posibles. 1 o -1 no funcionan.

Pero sé que es un hecho que su compuesto de $(X^2 + X + 1) * (X^2 + 1)$ Wolfram Alpha factorizada correctamente, pero parece que no puede generar un paso a paso de la solución, así que puedo entender ¿qué método se utiliza?

Necesito 2 cosas:

1. Una prueba que me pueda decir si esto es factorizable.
2. Un método de factor.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$X^4 + X^3 + 2X^2 + X + 1 = [X^4 + X^3 + \underbrace{X^2] + [X^2}_{2X^2} + X + 1] = 0 $$

$$\iff \color{blue}{X^2}(X^2+ X + 1) + \color{blue}{1}\cdot (X^2 + X + 1) = 0$$

$$\iff (X^2 + X + 1)(\color{blue}{X^2 + 1}) = 0$$

Ahora, cada uno de estos factores es irreducible en los reales, por lo que no puede ser un factor más, es decir, hay no real de las raíces.

Answer 2

El método de coeficientes indeterminados obras más general que los ad-hoc métodos. Supongamos que se tiene una factorización en cuadráticas. Por el Lema de Gauss, podemos suponer que su coeficiente de $\,a_i,b_i\in\Bbb Z$

$$\begin{eqnarray} x^4+ x^3+ 2 x^2 + x + 1 &=& (x^2+a_1 x + a_0)\ (x^2+ b_1 x + b_0)\\ &=& x^4 + (a_1\!+\!b_1) x^3 + (a_1 b_1\! +\! a_0\! +\! b_0) x^2 + (a_0 b_1\! +\! a_1 b_0) x + a_0 b_0\end{eqnarray}$$

Por lo $\ a_0b_0 = 1\,\Rightarrow\, a_0,b_0 = +1\,$ o $\,-1;\:$ debe $+1$ más coef de $\,x^3,\ x^1\,$ tienen signos opuestos.

Así que se especializa $\,a_0,b_0 = 1\,$ rendimientos $\ x^4 + (\color{#0a0}{a_1\! + b_1}) x^3 + (\color{#c00}{a_1 b_1\! +2}) x^2 + (a_1\! +b_1) x + 1$

Por lo tanto, $\,\color{#c00}{a_1 b_1\! + 2} = 2\,\Rightarrow\, a_1 b_1 = 0,\,$ $\,\color{#0a0}{a_1\! + b_1} = 1\,\Rightarrow\, a_1,b_1 = 0,1\,$ o $\,1,0.$

Answer 3

Una manera de hacer este tipo de cosas es el primer factor es completamente, en su complejo de factores, y luego buscar el conjugado de pares, entre esos factores. $X^4 + X^3 + 2X^2 + X + 1$ puede ser tenidos en cuenta en la $(X-\sqrt[3]{-1}+1) (X-i) (X+i) (X+\sqrt[3]{-1})$. Un algoritmo de computadora para la búsqueda de factores reales que podrían, a continuación, examinar estos factores complejos, determinar que $(X - i)$ $(X + i)$ son conjugado pares, y multiplicar para producir un factor real, $(X^2+1)$. A continuación, podría hacer lo mismo con $(X-\sqrt[3]{-1}+1)$ $(X+\sqrt[3]{-1})$ a producir $(X^2 + X + 1)$.

Answer 4

Bueno siempre se puede "engañar" y el uso de números complejos. Su polinomio tiene una raíz $x = i$, donde $i^2 = -1$ ($i^3 = -i$, $i^4 = 1$).

$i^4 + i^3 + 2i^2 + i + 1 = 1 - i - 2 + i + 1 = 0$

$i$ también es una raíz de $p(x) = x^2 + 1$, debido a $i^2 + 1 = -1 + 1 = 0$. Es importante que esto sólo funciona porque no es un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales que tiene el mismo complejo de raíz como su inicial polinomio. De hecho, su polinomio tiene 3 raíces complejas, pero estas no funcionan. Leer más en el teorema fundamental del álgebra

Answer 5

Aparte de simplemente "ver" la factorización como en la respuesta de amWhy, también se puede utilizar el hecho de que el polinomio es simétrico para reducir el grado del problema. Después de dividir por $X^2$ se obtiene un simétrica Laurent-polinomio \begin{align} X^2+X+2+X^{-1}+X^{-2}=(X+X^{-1})^2+(X+X^{-1})=Z^2+Z=Z\,(Z+1) \end{align} Aquí el resultado, cuadrática, polinomial en $Z=X+X^{-1}$ tiene un trivial de la factorización, pero cualquier simétrica polinomio de grado 4, se reduce de este modo a un polinomio cuadrático que luego pueden ser factorizados en factores lineales. Cada lineal factor de $Z-a$ a continuación se da una cuadrática factor de $X^2-aX+1$ del polinomio original.