Si un grupo finito ha $\geq p+1$ Sylow $p$-subgrupos (de orden $p^n$), luego están los $\geq p^{n+1}$ elementos en la Sylow $p$-subgrupos

Question

Supongamos $G$ es un grupo finito con Sylow $p$-subgrupos de orden $p^n$. Estoy tratando de mostrar que si hay $\geq p+1$ Sylow $p$-subgrupos, entonces la unión de todos estos subgrupos tiene el fin de $\geq p^{n+1}$.

En el caso de que haya exactamente $p+1$ Sylow $p$-subgrupos, podemos encontrar un homomorphism $G \rightarrow S_{p+1}$, lo que ha kernel $K$ del tamaño de la $p^{n-1}$ desde $(p+1)!$ es divisible por $p$, pero no por $p^2$. Entonces si $P$ es un Sylow $p$ -, el subgrupo subgrupo $PK$ ha pedido poder de $p$, por lo tanto $|PK| \leq p^n$, y en el orden de la fórmula para $PK$ nos encontramos con que $|P \cap K| \geq p^{n-1}$. Por lo tanto,$K \leq P$. Desde $K$ está contenida en cada una de Sylow $p$-subgrupo, la intersección de todos los Sylow $p$-subgrupos tiene el fin de $p^{n-1}$. Por lo tanto, hay $(p+1)(p^n - p^{n-1}) + p^{n-1} = p^{n+1}$ elementos en la unión de todos los Sylow $p$-subgrupos.

Ahora estoy atascado. ¿Cómo puedo manejar el caso en que no se $> p+1$ Sylow $p$-subgrupos?

Answer 1

Hay una prueba de este hecho en la Teoría y las Aplicaciones de Grupos Finitos por G. A. Miller, H .F. Blichfeldt y L. E. Dickson, en el capítulo acerca de Frobenius teorema (páginas 79-80). En realidad demostrar un mayor resultado así: cuando hay $> p+1$ Sylow $p$-subgrupos, entonces el número de elementos de la unión de Sylow $p$-subgrupos es $> p^{n+1}$. Pero he aquí una prueba de que el solo hecho le preguntó acerca de la aplicación de las ideas de Miller/Blichfeldt/Dickson (Ver aquí y aquí para que las correspondientes páginas del libro).

Deje $P_1$ $P_2$ ser distinto Sylow $p$-subgrupos de tal manera que su intersección $D = P_1 \cap P_2$ tiene más grande posible para, por ejemplo $|D| = p^k$. Deje $g \in N_{P_1}(D)$ tal que $g \not\in D$. La existencia de tales $g$ está garantizado, ya que $p$-grupos de satisfacer el normalizador de la condición.

A continuación, $g$ orden $\geq p$$g \not\in P_2$, así que hay al menos $p$ distintos de los conjugados de la forma $g^i P_2 g^{-i}$. Cada uno de estos conjugados contiene $D$ desde $g^i D g^{-i} = D$, por lo que, para maximality de $D$ la intersección de estos conjugados es igual a $D$.

Cuando se incluyen las $P_1$ entre estos conjugados, obtenemos una familia de al menos $p+1$ distintos subgrupos de Sylow que tienen en común la intersección $D$. Por lo tanto, hay $$(p+1)(p^n - p^k) + p^k = p^{n+1} + p^n - p^{k+1} \geq p^{n+1}$$ elementos entre esta familia.