Que la base del sistema numérico que se han $\frac 15 = 0.33333\ldots$?

Question

Que la base del sistema numérico que se han $\frac{1}{5} = 0.33333\ldots$?

Necesito ayuda en la solución de este.

Answer 1

Si estamos trabajando en base a $b$ (debemos tener $b\gt3$), $0.3333\ldots$ es $$0.3333\ldots = \frac{3}{b} + \frac{3}{b^2} + \frac{3}{b^3}+\cdots$$ Desde $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{b^n} = \frac{3}{b}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{b^n} = \frac{3}{b}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b}}\right) =\frac{3}{b-1},$$ entonces...

Answer 2

Una revisión de Arturo respuesta: vamos a $x=0.333\dots$, deja que la base se $b$, luego $$bx=3.333\dots$$ so $bx-x=(3.333\dots)-(0.333\dots)$ y usted puede tomar desde allí.

Answer 3

Sugerencia: si multiplicamos $0.33333\ldots$ $5$ a continuación se obtienen $0.(15)(15)(15)(15)(15)\ldots$. Compare esto con lo que sucede cuando multiplicamos la misma por $3$: $0.99999\ldots$, y su interpretación en decimal.