Dejemos que {xn} sea una secuencia acotada tal que toda subsecuencia convergente converge a L . Demostrar que lim
La siguiente es mi prueba. Por favor, hágame saber lo que piensa.
Demostrar por contradicción: ( A \wedge \lnot B )
Dejemos que { x_n } estar acotada, y toda subsecuencia convergente converge a L .
Supongamos que \lim_{n\to\infty}x_n\ne L
Entonces existe un \epsilon>0 tal que |x_n - L|\ge \epsilon para infinitos n.
Ahora, existe una subsecuencia \{x_{n_{k}}\} tal que |x_{n_{k}} - L| \ge\epsilon .
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass x{_{n{_k}}} tiene una subsecuencia convergente x_{n_{k{_{l}}}} que no converge a L .
x_{n_{k_{l}}} es también una subsecuencia de la secuencia original x_n entonces esto es una contradicción ya que toda subsecuencia convergente de x_n converge a L .
Por lo tanto, la suposición es errónea. Así que \lim_{n\to\infty}x_n = L.
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Podría expresarse un poco mejor, pero básicamente está bien. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no es correcto decir que \lim_{n\to\infty}x_n "no va a L El límite es un número, y no va a ninguna parte. Simplemente quiere asumir que \lim_{n\to\infty}x_n\ne L .
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¡Muchas gracias, Dr. Scott!
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De nada. Mientras estoy aquí, podrías encontrar este tutorial de MathJax útil; tus mensajes serán mucho más fáciles de leer si puedes manejar al menos un formato básico.
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Lo he arreglado un poco. Gracias por la página web. Es una gran ayuda. Sin embargo, aún no he descubierto cómo escribir xnk o xnkl.
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Los subíndices anidados a tres niveles de profundidad son un dolor, y difíciles de leer, pero se pueden hacer:
x_{n_{k_\ell}}
, para x_{n_{k_\ell}} .0 votos
Lo tengo. Muchas gracias por su tiempo.
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@wj32, es un poco diferente de la pregunta anterior, que habla de espacios métricos y conjuntos compactos --- temas que alguien interesado en la pregunta actual puede no conocer.
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Sólo una sugerencia de redacción: escribir \lim_{n\to\infty}x_n\neq L implica que existe un límite. Una redacción más rigurosa podría ser " \lim_{n\to\infty}x_n no existe o es diferente de L ". En cualquier caso, tu prueba funciona.
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La Q tal y como está planteada es trivial porque una secuencia es una subsecuencia de sí misma, y para cualquier m la secuencia (x_n)_{n>m} es una sucesión de (x_n)_{n\in N}. No sería trivial preguntarse si ( x_n)_{n\in N} converge a L si (x_{f(n)})_{n\in N} converge a L siempre que f:N\to N es estrictamente creciente y N \ \{f(n):n\in N\} es infinito.