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Secuencia acotada y toda subsecuencia convergente converge a L

Dejemos que {xn} sea una secuencia acotada tal que toda subsecuencia convergente converge a L . Demostrar que lim

La siguiente es mi prueba. Por favor, hágame saber lo que piensa.

Demostrar por contradicción: ( A \wedge \lnot B )

Dejemos que { x_n } estar acotada, y toda subsecuencia convergente converge a L .

Supongamos que \lim_{n\to\infty}x_n\ne L

Entonces existe un \epsilon>0 tal que |x_n - L|\ge \epsilon para infinitos n.

Ahora, existe una subsecuencia \{x_{n_{k}}\} tal que |x_{n_{k}} - L| \ge\epsilon .

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass x{_{n{_k}}} tiene una subsecuencia convergente x_{n_{k{_{l}}}} que no converge a L .

x_{n_{k_{l}}} es también una subsecuencia de la secuencia original x_n entonces esto es una contradicción ya que toda subsecuencia convergente de x_n converge a L .

Por lo tanto, la suposición es errónea. Así que \lim_{n\to\infty}x_n = L.

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Podría expresarse un poco mejor, pero básicamente está bien. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no es correcto decir que \lim_{n\to\infty}x_n "no va a L El límite es un número, y no va a ninguna parte. Simplemente quiere asumir que \lim_{n\to\infty}x_n\ne L .

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¡Muchas gracias, Dr. Scott!

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De nada. Mientras estoy aquí, podrías encontrar este tutorial de MathJax útil; tus mensajes serán mucho más fáciles de leer si puedes manejar al menos un formato básico.

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Yaroslav Puntos 141

Reviso su prueba.

Dejemos que { x_n } estar acotada, y toda subsecuencia converge a L. Supongamos que lim_{n\to\infty}(x_n)\ne L . Entonces existe un épsilon tal que infinitamente muchos n \in N \implies |x_n - L|\ge \epsilon Ahora, existe una subsecuencia \{ x_{\Large{n_k}} \} tal que |x_{\Large{n_k}} - L|\ge \epsilon \quad \color{red}{()}

1. ¿Cómo presagiar la prueba por contradicción? ¿Por qué no una prueba directa?

2. ¿Dónde está el \color{red}{()} ¿de dónde viene el problema?

Por el teorema de Bolzano Weiertrass \{ x_{\Large{n_k}} \} tiene una subsecuencia convergente \{ x_{n_{k_l}} \} que no converge a L. Esto es una contradicción.

¿Por qué? \{ x_{\Large{n_{k_l}}} \} es una subsecuencia de la subsecuencia x_{\Large{n_k}} que se postuló como convergente a L.
Por la agencia de p 57 q2.5.1 toda subsecuencia convergente de x_n converge al mismo límite que la secuencia original. Así que \{ x_{\Large{n_{k_l}}} \} \to L .

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