La asignación de valor a los divergentes integral

Question

Tengo una integral de la forma

$$\int\nolimits^\infty_{-\infty}\mathrm d \omega \, \frac{\omega^2}{k^2 + \gamma^2 \omega^2}$$

que diverge. Esta integral debe tener un valor finito, como debe ser relacionado con algunas de las mediciones físicas. Estoy intentando asignar un valor a la integral, una especie de cómo uno hace uso de regularización. En un par de artículos sobre física teórica (Que es el campo en el que yo soy), he visto que la gente utilice el valor principal de Cauchy en el formulario

$$-\!\!\!\!\!\!\!\int^\infty_{-\infty}\mathrm dx \, f(x) = \lim_{L \to \infty} \, \frac1{L} \int^L_{-L}\mathrm dx \, f(x)$$

pero no estoy seguro de cómo se deduce que a partir de

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value

Answer 1

Podemos evaluar $$ \int_{-L}^{L}\frac{\omega^{2}}{k^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}d\omega$$ completely. Our integral is $$\frac{1}{k^{2}}\int_{-L}^{L}\frac{\omega^{2}}{1+\frac{\gamma^{2}}{k^{2}}\omega^{2}}d\omega=\frac{k}{\gamma^{3}}\int_{-\frac{\gamma L}{k}}^{\frac{\gamma L}{k}}\frac{u^{2}}{1+u^2}d\omega=\frac{2L}{\gamma^2}-\frac{k}{\gamma^3}\arctan\left(\frac{\gamma}{k}L\right).$$ The last equality follows since the anti derivative of $\frac{u^{2}}{1+u^{2}}$ is $u-\arctan(u)$.

El Valor medio: a partir De lo anterior, podemos evaluar $\frac{1}{L}\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L} \int_{-L}^L \frac{\omega^{2}}{k^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}d\omega$. En particular, hemos $$\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L} \int_{-L}^L \frac{\omega^{2}}{k^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}d\omega =\frac{1}{\gamma^2},$$ which means that the average value of the function on the real line is $\frac{1}{\gamma^2}$. (notice I divided by $2L$ rather than $L$ because the interval is of length $2L$.)

Answer 2

Sugerencia: Suponga que $f(x)\to \ell_+$ al $x\to+\infty$ $f(x)\to \ell_-$ al $x\to-\infty$. Entonces $$ \lim\limits_{L\+\infty}\frac1{L}\int\limits_ {L}^Lf(x)\mathrm dx=\ell_++\ell_-. $$ En su caso $f(x)=\dfrac{x^2}{k^2+\gamma^2x^2}$ por lo tanto $\ell_+=\ell_-=\dfrac1{\gamma^2}$ y el límite es de $\dfrac2{\gamma^2}$.

Como puede ver, el resultado es robusto en el sentido de que no tiene nada que ver con el hecho de que sabemos exactamente una primitiva de $f$ o no, ni siquiera con la forma exacta de $f$.

Answer 3

Valor promedio no es que lo que normalmente se entiende como una regularización de valor de (digamos) de la serie. Una de las formas estándar de la regularización es la construcción de la analítica continuación. Si diverge en el punto de interés, entonces el término constante de la expansión en este punto se toma como la regularización de valor. En este caso parece que funciona como sigue. Para $s>0$ considera convergente integrales $$ \int_{-\infty }^{\infty } \frac{w^2}{\left(s^2 w^2+1\right) \left(k^2+\gamma ^2 w^2\right)} \, dw=\frac{\pi }{\gamma k s^2+\gamma ^2 s}= \frac{\pi }{\gamma ^2}-\frac{\pi k}{\gamma ^3}+O(s), $$ $$ \int_{-\infty }^{\infty } \frac{w^2 e^{-s w^2}}{k^2+\gamma ^2 w^2} \, dw= \frac{\sqrt{\pi }}{\gamma ^2 \sqrt{s}}-\frac{\pi k}{\gamma ^3}+O\left(\sqrt{s}\right), $$ $$ \int_{-\infty }^{\infty } \frac{w^2 e^{-s|w|}}{k^2+\gamma ^2 w^2} \, dw= \frac{2}{\gamma ^2}-\frac{\pi k}{\gamma ^3}+O(s). $$ Tenga en cuenta que el término constante $-\pi k/\gamma ^3$ es el mismo en los tres casos. Así que es un candidato para la regularización de valor.

Answer 4

No estoy seguro de lo $1/L$ está haciendo en su expresión para el valor principal de Cauchy.

En cualquier caso, su integral es claramente infinito como $\dfrac{\int^\infty_{-\infty} d \omega}{\gamma^2} $ es el límite del valor promedio es $\dfrac{1}{\gamma^2}$.