Supongamos que tenemos un campo vectorial diferenciable $X:\Omega\to\mathbb{R^n}$ definida en un abierto, acotado y simplemente se conecta región subconjunto $\Omega$$\mathbb{R^n}$, y su divergencia es negativa en todas partes, es decir, $\nabla\cdot X(x)<0$ cualquier $x\in\Omega$. Podemos probar que cualquier solución de dos trayectorias va a evolucionar más y más cerca, y así, eventualmente, convergente?
Formalmente, dados dos puntos cualesquiera $p,q\in\Omega$ y los flujos de $p(t), q(t)$ satisfacción $p(0)=p,q(0)=q,\dot p(t)=X(p(t)), \dot q(t)=X(q(t))$, definir $f(t)=||p(t)-q(t)||^2$, entonces es cierto que $$\frac{d}{dt}f(t)<0$$
Intuitivamente, creo que es correcto porque divergencia negativa implica cualquier área cerrada va a evolucionar más y más pequeñas. Así que si os adjuntamos dos puntos con un tubo delgado, entonces el volumen de este tubo se hacen más pequeños y más pequeños, que obliga a los puntos de acercarse.
Aquí está mi trate de: $$\frac{d}{dt}f(t)=2\left<p-q|X(p)-X(q)\right>=2\left<p-q|\nabla X(r)|p-q\right>$$ La primera ecuación de la siguiente manera a partir de la definición y la segunda del valor medio teorema(aunque este teorema no existe). Pero esta parece la declaración requiere más rígida de la enfermedad, dicen positividad de $\nabla X$, para garantizar la corectness.
