La forma cerrada de una relación de recurrencia que contiene factoriales.

Question

Vamos a una secuencia $\{x_n\}_{n\ge1}$ definido por $x_n=3nx_{n-1}+n!-3^n(n^2-2);\ \forall n\ge2$$x_1=10$. Encontrar una forma cerrada de $x_n$.

Traté de que $b_n=\frac{x_n-3^n}{n!}$ lo anteriormente expuesto se reduce en $b_n-3b_{n-1}=\frac{3^n}{n!}-9\cdot\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}+1$. Ahora la izquierda no es telescópica. Qué hacer? Es esta la manera correcta de enfoque? Sé que la generación de funciones, pero como el problema viene de una olimpiada a nivel de concurso, debe haber algún truco de manipulación.

Answer 1

Sugerencia. Pruebe con $b_n=\frac{a_n}{n!3^n}$, la recurrencia es $$b_n=b_{n-1}+\frac{1}{3^n}-\frac{1}{(n-2)!}-\frac{1}{(n-1)!}+\frac{2}{n!}$$ donde se utilizó $n^2=n(n-1)+n$.

Por lo tanto $$b_N=b_1+\sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{(n-2)!}-\frac{1}{(n-1)!}+\frac{2}{n!}\right)\\ =\frac{10}{3}+\sum_{n=2}^N \frac{1}{3^n}-\sum_{n=2}^N \frac{1}{(n-2)!}-\sum_{n=2}^N \frac{1}{(n-1)!}+\sum_{n=2}^N \frac{2}{n!}\\ =\frac{10}{3}+\sum_{n=2}^N \frac{1}{3^n}-\sum_{n=0}^{N-2} \frac{1}{n!}-\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n!}+2\sum_{n=2}^N \frac{1}{n!}\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^N}+\frac{N+2}{N!}.$$