la inducción para demostrar $n^2 - 1$ es divisible por 4, cambiando las variables de

Question

Tengo que probarlo $n^2 - 1$ es divisible por $4$ donde $n\in\mathbb{O}_{>0}$.

Dice, "Usted no puede demostrar mediante la inducción en $n$. Reescribir $n^2 - 1$ en términos de una variable en el que se puede hacer de la inducción."

¿Por qué no es posible hacer esto mediante la inducción en $n$ y cómo puedo cambiar la variable?

Toda la ayuda es apreciada.

Answer 1

El texto está utilizando tarda bastante estrecha visión de lo que significa para demostrar por inducción. La instrucción es: $1^2-1$ es divisible por $4$, y si $k^2-1$ es divisible por $4$ donde $k$ es impar, así que es el siguiente número impar ($k+2$). Pero \begin{equation*} (k+2)^2-1 = k^2+4k+4-1 = (k^2-1) + 4(k+1), \end{ecuación*} que es divisible por $4$ desde $k^2-1$ es por la hipótesis inductiva.

Supongo que lo que el texto significa, es que ya estamos asumiendo $n$ es impar, se debería utilizar en su lugar la declaración de $(2k+1)^2-1$ es divisible por $4$ si $k$ es un entero no negativo. Que está probado en mucho la misma manera: true para $k=0$, y si es verdadera para $k$, luego \begin{equation*} (2(k+1)+1)^2-1 = 4k^2 + 12k+9-1 = 4k^2+4k+4 + 8k+5 = (2k+1)^2 - 1 + 4(1+2k). \end{ecuación*}

Answer 2

Si $f(n)=n^2-1$

$f(m+2)-f(m)=(m+2)^2-m^2=4(m+1)$

$\iff4\mid f(m+2)\iff4\mid f(m)$

Ahora $f(1)=?$

Answer 3

Poner $\;n=2k-1\;,\;\;k\in\Bbb Z\;$ , por lo que

$$n^2-1=(2k-1)^2-1=4k^2-4k+1-1=4k(k-1)$$

y, claramente, la de más a la derecha plazo es divisible por $\;4\;$ así que hemos terminado.