En mis notas es el siguiente ejemplo sobre el método de energía.
Queremos mostrar que el problema de $$w_{tt}(x, t)-w_{xxtt}(x, t)-w_{xx}(x, t)=f(x, t), 0<x<1, t>0$$ $$w(x, 0)=\phi(x) \\ w_t(x, 0)=\psi(x) \\ w_x(0, t)=h(t), t>0 \\ w_x(1, t)=g(t)$$ tiene una única solución.
Suponemos que a $w_1, w_2$ son dos soluciones distintas. A continuación, $u=w_1-w_2$ soluciona el problema : $$u_{tt}(x, t)-u_{xxtt}(x, t)-u_{xx}(x, t)=0, \, 0<x<1, \, t>0$$ $$u(x, 0)=0 \\ u_t(x, 0)=0 \\ u_x(0, t)=0 \\ u_x(1, t)=0$$
$$$$
Para encontrar la energía que hacer lo siguiente:
$$\int_0^1(u_tu_{tt}-u_tu_{xxtt}-u_tu_{xx})dx=0 \tag 1$$
$$\int_0^1 u_tu_{tt}dx=\int_0^1\frac{1}{2}(u_t^2)_tdx=\frac{d}{dt}\int_0^1 \frac{1}{2}u_t^2dx$$
$$\int_0^1 u_t u_{xxtt}dx=-\int_0^1 u_{tx}u_{xtt}dx+[u_t u_{xtt}]_0^1=-\int_0^1\frac{1}{2}(u_{tx}^2)_tdx$$
$$\int_0^1 u_t u_{xx}dx=-\int_0^1 u_{tx}u_x dx+[u_t u_x]_0^1=-\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_0^1 u_x^2dx$$
$$(1) \Rightarrow \frac{d}{dt}\int_0^1 \frac{1}{2}u_t^2dx+\frac{d}{dt}\frac{1}{2}\int_0^1 u_{tx}^2dx+\frac{d}{dt} \frac{1}{2} \int_0^1 u_x^2dx=0$$
La energía del sistema es $$E(t)=\frac{1}{2}\int_0^1 (u_t^2(x, t)+u_{tx}^2(x, t)+u_{x}^2(x, t))dx$$
$$\Rightarrow E'(t)=\int_0^1 (u_t u_{tt}+u_{tx}u_{xtt}+u_xu_{xy})dx= \dots =0$$
(La energía es siempre positivo.)
$$\Rightarrow 0 \leq E(t) = E(0)=0 \Rightarrow u_t=0 \Rightarrow u(x, t)=u(x, 0)=0 \text{ Contradiction}$$
Así, el problema inicial tiene un inuque solución.
$$$$
$$$$ Yo quería aplicar esto en los siguientes :
$$v_{tt}(x, t)-v_{xt}(x, t)=f(x, t), x \in \mathbb{R}, t>0 \\ v(x, 0)=g(x), x \in \mathbb{R} \\ v_t(x, 0)=h(x), x \in \mathbb{R}$$
y he hecho lo siguiente:
Suponemos que a $v_1, v_2$ son dos soluciones distintas. A continuación, $u=v_1-v_2$ resolver el problema: $$u_{tt}-u_{xt}=0, x \in \mathbb{R}, t>0 \\ v(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \\ v_t=0, x \in \mathbb{R}$$ En este caso, puesto que $x\in \mathbb{R}$ estamos buscando las curvas características de la utilización de éstos como de los límites de la integral.
$$u_{tt}-u_{xt}=f $$ The characteristic curves are $$x=x_0 \text{ AND } x+t=x_0+t_0$$
$$\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}(u_tu_{tt}-u_tu_{xt})dx=0 \tag 2$$
$$\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}u_tu_{tt}dx=\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{\partial}{\partial{t}}\left (\frac{1}{2}u_t^2\right )dx=\frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{1}{2}u_t^2dx$$
\begin{align} \int_{x_0}^{x_0+t_0-t}u_tu_{xt}dx &= \int_{x_0}^{x_0+t_0-t}u_t\left [\frac{\partial}{\partial{x}}u_t\right ]dx=[u_t^2]_{x=x_0}^{x_0+t_0-t}-\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}u_{xt}u_tdx \\ &\Rightarrow \int_{x_0}^{x_0+t_0-t}u_tu_{xt}dx=\frac{1}{2}\left (u_t^2(x_0+t_0-t, t)-u_t^2(x_0, t)\right ) \end{align}
$$(2) \Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{1}{2}u_t^2dx-\frac{1}{2}\left (u_t^2(x_0+t_0-t, t)-u_t^2(x_0, t)\right )=0 \Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{1}{2}u_t^2dx=\frac{1}{2}\left (u_t^2(x_0+t_0-t, t)-u_t^2(x_0, t)\right )$$
La energía del sistema es $$E(t)=\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{1}{2}u_t^2dx$$
$$E'(t)=\frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}\frac{1}{2}u_t^2dx \Rightarrow E'(t)=\frac{1}{2}\left (u_t^2(x_0+t_0-t, t)-u_t^2(x_0, t)\right )$$
Tenemos también que $E(0)=0, E'(0)=0$, a la derecha??
¿Cómo podríamos continuar para mostrar que $u=0$ ?? Pudimos demostrar que si queremos saber que $E'(t) \leq 0$, pero, ¿cómo podemos obtener esta desigualdad??
