Demostrando que diferentes definiciones de exponenciación son equivalentes

Question

Supongamos que definimos $\exp(x)$ como la función única $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_+}$ Satisfaciendo a $f(0) = 1$ y $f'(x) = f(x)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . A continuación, definimos su inversa $f:\mathbb{R_+} \rightarrow \mathbb{R}$ denotado $\log(x)$ . Entonces, defina $b^x$ para $b>0$ como $\exp(x\log b)$ .

Entonces, ¿cómo podemos demostrar que las propiedades "habituales" de la exponenciación se satisfacen para valores enteros y racionales de $x$ y $b$ . A saber, $\prod_{i=1}^{n}{b} = b^n$ , $b^{p/q} = \sqrt[q]{b^p}$ (donde $\sqrt[q]{x}$ para $x>0$ se ha definido adecuadamente como el único número positivo $m$ Satisfaciendo a $\prod_{i=1}^{q}{m} = x$ Por supuesto, no es necesario tener en cuenta los argumentos negativos, ya que $b>0$ ), $b^qb^p = b^{p+q}, $$ (b^q)^p = b^{pq}$, etcétera.

En otras palabras, cómo podemos demostrar que esta definición un tanto artificial es equivalente a la noción de exponenciación que todos conocemos.

Answer 1

Primero vamos a demostrar que $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ . Para ello, fija $y$ y considerar $f(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(y)}$ . Entonces vemos fácilmente que $f(0)=1$ y $f'(x)=f(x)$ Así que $f(x)=\exp(x)$ Por lo tanto, al definir la propiedad de $\exp$ , $f(x)=\exp(x),\frac{\exp(x+y)}{\exp(y)}=\exp(x),\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ .

Ahora se deduce fácilmente que $\log(xy)=\log x+\log y$ para $x,y>0$ . Ahora podemos demostrar muchas propiedades de la exponenciación con las que estamos familiarizados. Permítanme mostrar esto para $b^{x+y}=b^xb^y$ y $b^{xy}=(b^x)^y$ .

$$b^{x+y}=\exp((x+y)\log b)=\exp(x\log b+y\log b)=\exp(x\log b)\exp(y\log b)=b^xb^y$$

$$b^{xy}=\exp(xy\log b)=\exp(y\log(\exp(x\log b)))=(\exp(x\log b))^y=(b^x)^y$$

Answer 2

Desde $\exp'(x)=\exp(x)$ podemos encontrar su serie de Taylor. Tenemos $\exp^{(n)}(0)=1$ lo que implica que

$$\exp(x)=1+x+\tfrac1{2!}x^2+\tfrac1{3!}x^3+...$$

De ello se desprende que $$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)$$

Utilizando estas dos propiedades podemos demostrar que, por ejemplo $$2^2=\exp(2\ln 2)=\exp(\ln 2+\ln 2)=\exp(\ln 2)\cdot\exp(\ln 2)=2\cdot 2$$

Para las raíces también hay una equivalencia, considere $$2^{1/2}=\exp(\tfrac12\ln 2)=\exp(\ln 2-\tfrac12\ln 2)=\exp(\ln 2)\exp(-\tfrac12\ln 2)=\frac{2}{2^{1/2}}$$ $$2^{1/2}\cdot2^{1/2}=2$$

Así que $2^{1/2}$ es el número que satisface $$\prod_{n=1}^2 2^{1/2}=2$$

Answer 3

Utilizaré un enfoque ligeramente diferente al de Wojowu, que utiliza la singularidad de forma esencial.

Dejemos que $g_y(x) = f(-x)f(x + y)$ . Entonces $g'(x) = -f'(-x)f(x+y) + f(-x)f'(x+y) = 0$ . Así, $g_y(x)$ es constante, con $g_y(x) = g_y(0) = f(0)f(y) = f(y)$ . En particular, dejar que $y = 0$ encontramos $1 = f(0) = g_0(x) = f(-x)f(x)$ . Esto demuestra que $f(x+y) = f(x)f(-x)f(x+y) = f(x)g_y(x)=f(x)f(y)$ . Esta es la propiedad fundamental de $f$ .

La fórmula $f(x)f(-x) = f(0) = 1$ muestra, en particular, que $f(x) \ne 0$ . Desde $f$ es continua y $f(0) = 1$ la función debe ser siempre positiva, por el teorema del valor intermedio. Dado que $f'(x) = f(x) > 0$ la función $f$ es estrictamente creciente desde $\mathbb{R}$ a $(0,+\infty)$ . Definir $e = f(1) > f(0) = 1$ .

La fórmula $f(nx) = f(x)^n$ (en la que las potencias integrales tienen su significado habitual) se puede demostrar por inducción para $n \geq 1$ utilizando la fórmula fundamental, y ampliada a valores negativos de $n$ utilizando $f(nx)f(-nx) = 1$ . El hecho de que $f(n) = e^n$ muestra $f(x)$ es ilimitado por debajo y por encima dentro de $(0,+\infty)$ por lo que por el teorema del valor intermedio su rango es todo $(0,+\infty)$ . Ahora escribimos $\exp$ y $\log$ para la función $f$ y su inversa.

Definir $b^x$ para ser $\exp(x \log b)$ . Cuando $x$ es un número entero $n$ , esto tiene su significado habitual ya que $\exp(n \log b) = [\exp(\log b)]^n = b^n$ . Tenemos $\left(b^{1/q}\right)^q = \left[\exp\left(\frac{1}{q}\log b\right)\right]^q = \exp\left(q \cdot \frac{1}{q} \log b\right) = \exp(\log b) = b$ . Esto demuestra que $b^{1/q} = \sqrt[q]{b}$ . Ahora para la integral $p$ tenemos $b^{p/q} = \exp\left(\frac{p}{q}\log b\right) = \left[\exp\left(\frac{1}{q}\log b\right)\right]^p = \left(b^{1/q}\right)^p = \left(\sqrt[q]{b}\right)^p$ . Tenga en cuenta también que $b^x$ es una biyección creciente o decreciente desde $\mathbb{R}$ a $(0,+\infty)$ según el signo de $\log b$ , es decir, a si $b > 1$ o $b< 1$ . (El hecho de que la función $b^x$ tiene los valores esperados para los racionales $x$ y es monótona la caracteriza por completo).

Tenemos $b^{x+y} = \exp[(x+y)\log b] = \exp(x \log b)\exp(y \log b) = b^x b^y$ de la fórmula fundamental.

También tenemos $(b^x)^y = \exp(y \log b^x) = \exp(y \log[\exp(x \log b)]) = \exp(yx \log b) = b^{xy}.$