Matriz jacobiana y de la Arpillera de la matriz identidad

Question

Estoy tratando de entender la siguiente identidad en dos dimensiones:

$$H_{XY} = J^TH_{xy}J$$

Aquí $x,y$ $X,Y$ son diferentes de las coordenadas de $\mathbb R^2$, $J$ es la matriz Jacobiana y el $H$ son Hesse matrices en las coordenadas.

Mis pensamientos son los siguientes: el $J$ a nivel local es una transformación de coordenadas de $XY$ $xy$coordenadas. Al menos es como yo pensaba Jacobians hasta el día de hoy. El problema es que, a continuación, $J^T$ debe $J^{-1}$. He comprobado y Jacobians no son necesariamente unitaria. Ahora me pregunto: ¿cómo entender la ecuación anterior y, en general, la matriz Jacobiana? En particular, ¿por qué es $J^T$ e no $J^{-1}$?

Answer 1

Trate de calcular directamente. Suponga $(x,y)\rightarrow(X,Y)$ es transformación lineal, tenemos $$(H(X))_{ij}=\frac{\partial^2f}{\partial X_i\partial X_j}=\sum_k\sum_l\frac{\partial x_k}{\partial X_i}\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_l}\frac{\partial x_l}{\partial X_j}=\sum_k\sum_l J_{ki}(H(x))_{kl}J_{lj}$$ Escribir en forma de matriz, precisamente, $$H(X)=J^TH(x)J$$

Ahora puede que todavía no está claro por qué hay un $J^T$ en lugar de $J^{-1}$. La razón es que Hess no es una transformación lineal como lo que las otras matrices.

Veamos más de cerca el cambio de base de una matriz de Una transformación lineal $P$.

Si la matriz de $A$ es una transformación lineal, que se asigna un vector un vector. $$y=Ax$$ A continuación, el cambio de base significa una transformación lineal $A'$, de modo que $$Py=A'Px$$ Este es, precisamente,$A'=P^{-1}AP$. Decimos transformación lineal es tanto covariante (por lo $P$) y contravariante (por lo $P^{-1}$).

Sin embargo, si la matriz de $A$ es una forma bilineal, que se asigna de los dos vectores a un escalar. $$c=A(x,y)$$ A continuación, el cambio de base se convierte en $$c=A'(Px,Py)$$ Así que por cálculo escribí anteriormente, $A'=J^TAJ$. Se dice entonces que esta asignación es covariante(por lo tanto $P$)

Usted puede decir que puedo también respecto transformación lineal como una asignación de dos vectores a escalar definida como $$c=x^TAy$$ Sí, ese es el problema. En realidad, aquí $x$ ya no es un vector, pero covector. Usted tendrá de verificación $$c=(Px)^TA'(Py)=x^T(P^TA'P)y$$ También transponer en lugar de la inversa de la derecha? Podemos concluir que la forma de transformación depende del tipo de vector y matriz. En detalle, contravariante, covariante o mezcla tipo.

Answer 2

Sobre el estado de hesse, no hay ninguna fórmula sencilla para el cambio de variable, EXCEPTO cuando estamos en un punto crítico. Vamos a denotar por $\phi$ la función "cambio de variable" $X\rightarrow x$. En primer lugar, tenemos una mirada sobre el caso $n=1$. $(f\circ \phi)'(X)=f'(x)\phi'(X)$ y $(f\circ \phi)''(X)=f''(x)\phi'^2(X)+f'(x)\phi''(X)$. La expresión anterior tiene una forma interesante sólo si $f'(x)=0$ ($x$ es un punto crítico y $X$ también desde $(f\circ \phi)'(X)=0$). Ahora , en el caso general, es más complicado porque debemos considerar la primera derivada (lineal) y la segunda derivada (bilineal y, a continuación, asociado a una matriz simétrica). $D(f\circ \phi)_X:H\rightarrow Df_x(D\phi_X(H))$ $D^2(f\circ \phi)_X:(H,K)\rightarrow D^2f_x(D\phi_X(H),D\phi_X(K))+Df_x(D^2\phi_X(H,K))$ . Aquí $x$ es un punto crítico, que es$Df_x=0$$D^2(f\circ\phi)_X(H,K)=D^2f_x(D\phi_X(H),D\phi_X(K))$. Con el azul de la notación, $D\phi_X=J$, obtenemos la igualdad entre matrices simétricas $D^2(f\circ\phi)_X=J^TD^2f_xJ$. Esta fórmula permite estudiar los puntos críticos de $f$; son realmente un extremo de la función $f$ ?