Puede reemplazar los $x$ $x^2$ para cualquier serie de Maclaurin?

Question

Digamos que tengo una serie de Maclaurin para alguna función $f(x)$, y para encontrar la serie de Maclaurin $f(x^2)$ puedo acaba de sustituir a $x^2$ por cada término de la serie de Maclaurin para $f(x)$?

Answer 1

Si $$f(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n \text{ for }\vert x \vert < R$$, then $$f(x^k)=\sum_{n\ge0}a_nx^{nk} \text{ for }\vert x^k \vert < R\text{, i.e.} \vert x \vert <R^{1/k}$$

Answer 2

Sí, porque se está evaluando la función en el punto de $x^2$, en lugar de sólo $x$. Todo lo que realmente están haciendo es cambiando el dominio de la función, por lo que en caso de que el radio de convergencia $r$, la nueva radio de convergencia es $\sqrt r$.

Answer 3

$${{{{{{\mathbf{\text{Yes}.}}}}}}}$$