Resolución de singularidades de la determinante de la hipersuperficie

Question

Vamos $$\det\nolimits_n=\sum_{\pi\in\mathfrak{S}_n} \operatorname{sgn}(\pi)\cdot x_{1,\pi(1)}\cdots x_{n,\pi(n)} \in \mathbb{C}[x_{ij}\mid 1\le i,j\le n]$$ ser el factor determinante del polinomio. Se define un singular hipersuperficie $Z_n\subseteq \mathbb{C}^{n\times n}$ consiste en el rango de deficiencia de complejo de $n\times n$ matrices.

Ya que estamos en característica cero, no es un integrado de resolución de $\phi_n: Y_n\to \mathbb{C}^{n\times n}$ de manera tal que la estricta transformación de $Z_n$ es un nonsingular subvariedad de $Y_n$.

Mi pregunta es, ¿alguien ha dado una descripción explícita de $\phi_n$, en el sentido de que $\phi_n$ se expresa como una secuencia de) blow-up(s) a lo largo de algo que posiblemente tiene algo de buena descripción? Cualquier referencia es más que bienvenido.

Answer 1

Esto no es un integrado de resolución, pero es al menos una buena resolución, así que tal vez sería útil.

Esto va a funcionar de manera más general para cualquier determinantal variedad así que me limitaré a hablar de ella en que la generalidad. Deje $M_{m,n} = \mathbb{C}^{mn}$ visto como $m \times n$ matrices con $n \geq m$.

A continuación, tome $Z_{m,n} \subset M_{m,n}$ ser la desaparición de todos los menores de edad máxima de los genéricos $m \times n$ matriz. Tenemos la incidencia de la variedad

$$ X_{m,n} = \{([v],M) : vM = 0\} \subconjunto \mathbb{P}^{m - 1} \times M_{m,n} $$

donde $[v]$ es la clase de un $m$-vector $v$ en el espacio proyectivo. Entonces la restricción de la segunda proyección de $pr_2 : \mathbb{P}^{m-1} \times M_{m,n} \to M_{m,n}$ $\alpha: X_{m,n} \to Z_{m,n}$es una resolución de singularidades.

Esto es discutido, por ejemplo, aquí.