Dos espacios, cada uno retracto del otro, que no son homotópicamente equivalentes

Question

Esperando encontrar un ejemplo simple de espacios $X$ y $Y$ tales que cada uno sea retracto del otro (es decir, existen funciones continuas $i: X \to Y, p: Y \to X$ con $p \circ i = \mathrm{id}_X$ y también funciones continuas $j: Y \to X, q: X \to Y$ con $q \circ j = \mathrm{id}_Y$) pero tales que $X$ e $Y$ no son homotópicamente equivalentes.

Creo que debería haber un ejemplo bastante simple, ya que no me importa si los espacios $X$ e $Y$ están conectados. Un ejemplo conectado sería bueno, por supuesto...

Agregado: De hecho, acabo de notar que no es muy difícil hacer esto si no nos importa usar algún tipo de engaño infinito. Muchos ejemplos son posibles en estas líneas.... Sea $T_n$ el espacio que es la cuña de $n$ círculos. Observa que $T_n$ es un retracto de $T_m$ cuando $m \geq n$. Por lo tanto, $X = T_1 \sqcup T_3 \sqcup T_5 \sqcup \ldots$ y $Y = T_2 \sqcup T_4 \sqcup T_6 \sqcup \ldots$ son retracciones de uno al otro, pero no deberían ser homotópicamente equivalentes.

A la luz de esta adición, permíteme cambiar la pregunta a:

Pregunta revisada: ¿Podemos encontrar un buen ejemplo de dos espacios conectados, cada uno retracto del otro, tal que no sean homotópicamente equivalentes?

Answer 1

Aquí hay una obstrucción para encontrar un ejemplo que sea demasiado "bueno". Supongamos que deseas que $X$ e $Y$ sean simplemente conexos y tengan el tipo de homotopía de complejos CW. Entonces, dado que $i:X\to Y$ no es una equivalencia homotópica, existe algún $n$ tal que $i_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ no sea un isomorfismo. Entonces vemos que $j_*i_*:H_n(X)\to H_n(X)$ es una inclusión de un sumando directo propio. Ningún grupo abeliano finitamente generado puede ser isomorfo a un sumando directo propio de sí mismo, por lo que $H_n(X)$ no puede ser finitamente generado. En particular, por ejemplo, $X$ no puede tener el tipo de homotopía de un complejo CW finito.

(Entonces, moralmente, esto indica que cualquier ejemplo debe ser "infinito" o involucrar la explotación de cosas extrañas no abelianas con $\pi_1$. No sé si realmente puedes obtener ejemplos utilizando cosas extrañas no abelianas. Por ejemplo, en este momento no veo si es posible tener un grupo finitamente generado que sea isomorfo a un retracto propio de sí mismo.)

Answer 2

$X=S^1 \vee T^2 \vee T^2 \vee ...$, $Y=T^2\vee T^2 \vee T^2 ...$. Pero no conozco ningún ejemplo que sea un complejo CW finito.