¿Por qué el anillo de enteros es inicial en el anillo?

Question

En Álgebra Capítulo 0 Aluffi indica que el anillo de $\Bbb{Z}$ de los enteros con la costumbre de la adición y la multiplicación es la inicial en la categoría de Anillo. Que es un anillo de $R$ con identidad $1_{R}$ hay un anillo único homomorphism $\phi:\Bbb{Z}\rightarrow{R}$ definido por $\phi(n)\mapsto{n\bullet1_{R}}$ $(\forall{n\in\Bbb{Z}})$lo que tiene sentido para los anillos como $\Bbb{Q},\Bbb{R},\Bbb{C}$ han $\Bbb{Z}$ como un sub-anillo pero no puedo ver cómo $\phi$ mantiene cuando el codominio es un anillo que no contenga $\Bbb{Z}$. Si alguien podría proporcionar ejemplos de anillo homomorphisms de $\Bbb{Z}$ a otros anillos de los anillos se mencionó anteriormente, yo estaría muy agradecido.

Answer 1

En cada anillo (con la unidad) $R$$1$. Y por lo tanto, tiene $1+1$, e $1+1+1$, &c. Usted puede considerar la recogida de todos estos elementos y sus inversos aditivos, $-(1+1), -(1+1+1)$, &c. Para $n>0$ llaman a estos elementos $n1$ y establezca $(-n)1=-(n1)$, si $n=0$; $n1=0$. Debe convencerse de que $m1+n1=(m+n)1$ para cualquier par de enteros $n,m$, e $n1\cdot m1=(nm)1$. De curso $1\cdot 1=1$. Esto significa que la recogida de tales elementos es un sub-anillo de $R$. Se parece a $\Bbb Z$, ya que cada elemento es sólo una suma de $1$ (o diferencia), pero tenga en cuenta que estos elementos no tienen que ser distintos. Por ejemplo, en $\Bbb Z/3\Bbb Z$, $2\cdot 1=-1\cdot 1$.

En cualquier caso, ahora podemos definir una función de $f:\Bbb Z\to R$ para cualquier anillo de $R$ con la unidad que envía el entero$n$$n1$, como se definió anteriormente. Lo que marcó arriba, es precisamente la afirmación de que $f(n)f(m)=f(mn)$ y $f(n+m)=f(n)+f(m)$, $f(1)=1$. Esto significa $f$ es una de morfismos de anillos. Desde $R$ fue arbitraria, hemos demostrado que cada anillo de $R$ admite un morfismos de anillos de $f:\Bbb Z \to R$.

Queda por ver que $f$ es único. Ahora si $g:\Bbb Z\to R$ es otro de los morfismos de anillos, sabemos que $g(1)=1$ ($g$envía la unidad de $\Bbb Z$ a la unidad de $R$), por lo tanto $g(-1)=-1$ (żpor qué?). Pero cualquier entero distinto de cero es $n$ es $1+\dots+1$ ($n$ veces) o $-1-\cdots-1$ ($n$ veces), por lo que el uso de $g$ $\Bbb Z$- lineal ($g(a+b)=g(a)+g(b)$) da $g$ envía $n$ $f(n)$como se definió anteriormente, es decir,$f=g$.

Answer 2

Tome el anillo $\mathbb{Z}_2$ (también conocido como $\mathrm{GF}_2$) con dos elementos, y definir $$\phi(n)=\begin{cases}1&\text{if $n$ is odd}\\0&\text{if $n$ is even}\end{cases}$$ Para aprender algo de este ejemplo, demostrar que esta es la única homomorphism.

Answer 3

Cualquier morfismos $f$ satisface $f(n)=f(\sum_{i=1}^n 1) = \sum_{i=1}^n f(1) = \sum_{i=1}^n 1_R = n 1_R$. Usted tiene la unicidad. La existencia es trivial, basta con definir de esta manera, por la fórmula anterior. Así que usted tiene la definición de cualquier anillo de $R$ con la unidad. ;-) Tenga en cuenta que la imagen de $\mathbf{Z}$ es siempre en $R$'s del centro.

Observación. $n 1_R$ $n\in\mathbf{N}$ significa, simplemente, $0$ si $n=0$, $\sum_{i=1}^n 1_R$ si $n>0$, y al contrario si $n<0$. Yo preciso en esto como creo que esta es la única cosa que te molesta.