Comprobación de los valores iniciales de un PIV

Question

Demuestre que la solución del problema de valor inicial

$$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),y(t_0)=y_0, y'(t_0)=y_0'$$

puede escribirse como $y=u(t)+v(t)$ , donde $u$ y $v$ son soluciones de los dos problemas de valor inicial

$$u''+p(t)u'+q(t)u=0, u(t_0)=y_0, u'(t_0)=y_0'$$ $$v''+p(t)v'+q(t)v=g(t), v(t_0)=0, v'(t_0)=0$$

respectivamente. Asegúrese de comprobar los valores iniciales.

He podido demostrar que la solución del PIV puede escribirse como $y=u(t)+v(t)$ (creo).

$$(u+v)''+p(t)(u+v)'+q(u+v)=[u''(t)+v''(t)]+[p(t)(u'(t)+v'(t))]+[q(t)(u(t)+v(t))]$$ $$=(u''+pu'+qu)+(v''+pv'+qv)$$ $$=0+g(t)$$ $$=g(t)$$

El problema que tengo es la comprobación de los valores iniciales. Generalmente, cuando se trata de un simple $$y''+y'-2y=2t, y(0)=0, y'(0)=1$$ tipo de problema, comprobar los valores iniciales es muy sencillo. Por una u otra razón, no puedo comprobar los valores iniciales en este caso. Estoy seguro de que es algo tonto que estoy teniendo un bloqueo mental porque se ve diferente de lo normal.

Nota: este es el problema nº 21 de la sección 3.7 de Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Eighth Edition. Boyce, DiPrima.

Answer 1

La pregunta le pide que demuestre que $y=u(t)+v(t)$ (con sus respectivas condiciones iniciales) es una solución al PIV dado. Por lo tanto, sólo hay que demostrar que $y=u(t)+v(t)$ satisface (es decir, hace que la igualdad sea verdadera) el PIV dado. La primera parte ya la has hecho introduciendo $u(t)+v(t)$ en el PIV. La segunda parte es muy parecida a la primera, verificar que el valor inicial de $u(t)+v(t)$ satisfacen los valores iniciales del PIV.

Nota: No estoy familiarizado con la escritura en LaTeX, así que disculpe mi mala notación.

Answer 2

Para la parte de la u: y''+y'-2y=0, y(0)=0,y'(0)=1
Resolviendo el polinomio característico, se puede encontrar que la solución general es $u=C_1e^{-2t}+C_2e^t$ . Poner el valor inicial, es decir $C_1+C_2=0$ y $-2C_1+C2=1$ . Restando la primera de la segunda se puede encontrar $C_1=-\frac{1}{3}$ entonces $C_2=\frac{1}{3}$

Para la parte v: y''+y'-2y=2t, y(0)=0,y'(0)=0
La solución general es $v=C_3e^{-2t}+C_4e^t-t-\frac{1}{2}$ . Poner el valor inicial, es decir $C_3+C_4=\frac{1}{2}$ y $-2C_3+C_4=1$ . Restando la primera de la segunda se puede encontrar $C_3=-\frac{1}{6}$ entonces $C_4=\frac{2}{3}$

Así que $u=-\frac{1}{3}e^{-2t}+\frac{1}{3}e^t$ y $v=-\frac{1}{6}e^{-2t}+\frac{2}{3}e^t-t-\frac{1}{2}$ Si los sumamos, tenemos $y=-\frac{1}{2}e^{-2t}+e^t-t-\frac{1}{2}$

En este caso $y(0)=-\frac{1}{2}+1-0-\frac{1}{2}=0$ y $y'(0)=-\frac{1}{2}*(-2)+1-0-\frac{1}{2}=1$

¿Es esto lo que quieres?