Qué punto de la esfera $x^2+y^2+z^2=19$ maximizar $2x+3y+5z$ ?

Question

Qué punto de la esfera $x^2+y^2+z^2=19$ maximizar $2x+3y+5z$ ?

Así que asumo que hay un punto que maximiza $2x+3y+5z$ . ¿Cómo puedo calcular el valor exacto de este punto?

Answer 1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

$$ 2x+3y+5z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2} \sqrt{2^2+3^2+5^2} = 19 \sqrt{38} $$ y la igualdad se alcanza si $(x,y,z)=\lambda(2,3,5)$ es decir, para $\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Answer 2

Estás en una esfera de radio $\sqrt{19}$ centrado en el origen. Coordenadas esféricas es una opción: con $x=\sqrt{19}\sin \phi \cos \theta$ , $y=\sqrt{19}\sin \phi \sin \theta$ y $z=\sqrt{19}\cos \phi$ el problema se reduce a resolver $$ \max \quad 2\sqrt{19}\sin \phi \cos \theta+3\sqrt{19}\sin \phi \sin \theta+5\sqrt{19}\cos \phi $$ con $(\theta,\phi)\in [0,2\pi] \times [0,\pi]$ .

Answer 3

Debe buscar un vector $(x,y,z)$ con una norma igual a $19$ tal que su producto interior con $(2,3,5)$ es máxima.

$2x+3y+5z=<(2,3,5),(x,y,z)>=||(2,3,5)||\times||(x,y,z)||\times cos(\theta)=\sqrt{38}\times 19\times cos(\theta)$

Por lo tanto, sólo se centran en $cos(\theta)$ para maximizar la función.