Tengo el siguiente problema,
"Supongamos que $X=\ell^1$ y definir el operador $T\in B(X)$ como sigue:
$$Tx=\left(\frac12x_2,\frac13x_3,\frac14x_4,...\right)\,,\textit{where,}\,\,\, x=(x_1,x_2,x_3,...)$$
Encontrar los autovalores de a $T.$"
Aquí está mi intento hasta ahora:
Deje $\lambda$ ser un autovalor de a $T$, entonces,
$$\implies\exists x\in \ell^1:Tx=\lambda x,\lambda\in\mathbb C$$ $$\implies\frac12x_2=\lambda x_1,\,\frac13x_3=\lambda x_2,\,\frac14x_4=\lambda x_3,...$$
Podemos escribir esto en forma equivalente como sigue:
$$\implies \frac12x_2=\lambda x_1,\,\frac13x_3=2!\lambda^2x_1,\,\frac14x_4=3!\lambda^3x_1,\,...\,,\frac1nx_n=(n-1)!\lambda^{n-1}x_1,\,...$$
Para $n\in\mathbb N/\{1\}$.
Para que el autovalor problema para estar satisfechos, nos requieren $x\ne1$, y por lo tanto, si tenemos que $x_1=0\implies x=0$, lo que produce una contradicción. Por lo tanto, $x_1\neq0.$
Esto significa que tenemos,
$$x=(x_1,\lambda x_1,2!\lambda^2x_1,...)$$
También debemos asegurarnos de que $x\in X=\ell^1$, por lo tanto consideramos que,
$$x\in\ell^1\iff\sum_{k=1}^\infty|x_k|\lt \infty$$
$$\iff\sum_{k=1}^\infty|(k-1)!\lambda^{k-1}x_1|\lt \infty$$
$$\iff|x_1|\sum_{k=1}^\infty|(k-1)!\lambda^{k-1}|\lt \infty$$
Y sabemos que $x_1\neq0$, por lo que,
$$\iff\sum_{k=1}^\infty|(k-1)!\lambda^{k-1}|\lt \infty$$
Estoy seguro de cómo pasar de aquí. Yo había pensado para argumentar a lo largo de las líneas que si $(k-1)!$ crece a un ritmo más rápido que el $\lambda^{k-1}$ tiende a cero, entonces la suma no será finito. Creo que tengo que probar y demostrar que $|\lambda|\lt1$, pero no estoy seguro de cómo deshacerse de la $(k-1)!$ en la anterior. Es la citada línea de pensamiento, la manera correcta de ir sobre esto? Saludos!
