Cauchy funcional de la ecuación en el complejo campo

Question

Es sabido que la única medibles soluciones a los Cauchy funcional de la ecuación de $f(x+y) =f(x)+f(y)$ son las lineales ($x,y\in \mathbb{R}$). Hace lo mismo si tomamos $x,y \in \mathbb{C}$? Edit: Después de la primera respuesta, me reformular mi pregunta: Son las únicas funciones medibles $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que satisfacen las Cauchy funcional de la ecuación lineal o anti-lineal (que es de la forma $f(z)=a \bar{z}+b)$?

Answer 1

$f(x)=\bar{x}$ satisface la ecuación funcional, y no es de la forma $ax+b$ cualquier $a,b\in \mathbb{C}$ desde $\overline{-x}=-\bar{x} \Rightarrow b=0$ $ax=x$ $x \in \mathbb{R}$ obligaría a $a$$1$.

Answer 2

$\mathrm{Re}(x+y) = \mathrm{Re}(x) + \mathrm{Re}(y)$.

y, más en general, el mapa de $x+iy$$u+iv$, utilizando un $2\times 2$ real de la matriz.