El uso de Cantor-Schröder-Bernstein para demostrar |X1|=|X2|

Question

Si $X_1 = \left\{\text{all functions }f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\right\}$$X_2=\left\{\text{all functions }g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ such that }g(0)=0\right\}$,

$a)$ Uso de Cantor-Schröder-Bernstein para probar|$X_1$|=|$X_2$|
$b)$ Encontrar un hormigón bijection entre ambos conjuntos

Para la parte $a)$ me dijo que debido a que $X_2 \subseteq X_1$,$|X_2|\leq|X_1|$. Así que ahora sólo tengo que encontrar una inyección de entre $X_1$$X_2$. He intentado un par de funciones, pero siempre me sale que dos funciones en $X_1$ que sólo difieren en su valor de $x=0$ mapa a la misma función en $X_2$, por lo que no es inyectiva.

Así que no sé cómo continuar a partir de aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$a)$ Deje $\phi:\mathbb{R}\rightarrow (0,2)$ ser un bijection (por ejemplo, $\phi(x)=\frac{x}{1+|x|}+1$), y deje $\Phi:X_1\rightarrow X_2$ ser dada por $$\Phi(f)(x)=\begin{cases}f(\phi^{-1}(x))&\text{, if }x\in(0,2)\\ 0&\text{otherwise}\end{casos}.$$ Vamos a demostrar que $\Phi$ es inyectiva: supongamos que $f_1,f_2:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ satisfacer $\Phi(f_1)=\Phi(f_2)$. Eso significa que, para cada $x\in\mathbb{R}$, $\Phi(f_1)(x)=\Phi(f_2)(x)$. Dado $y\in\mathbb{R}$,$\phi(y)\in(0,2)$, lo que $$f_1(y)=f_1(\phi^{-1}(\phi(y))=\Phi(f_1)(\phi(y))=\Phi(f_2)(\phi(y))=f_2(\phi^{-1}(\phi(y))=f_2(y),$$ por lo $f_1=f_2$. Por lo tanto, $\Phi$ es inyectiva. Desde $X_2\subseteq X_1$, se obtiene, por Cantor-Bernstein, $|X_2|=|X_1|$.

$b)$ Deje $\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ ser cualquier bijection (por ejemplo, $\psi(x)=x$$x\not\in\mathbb{N}=\left\{0,1,2,\ldots\right\}$$\Psi(n)=n+1$$n\in\mathbb{N}$). Deje $\Psi:X_1\rightarrow X_2$ ser dado por $$\Psi(f)(x)=\begin{cases} f(\psi^{-1}(x))&\mathrm{, if }x\neq 0\\ 0&\mathrm{otherwise}\end{cases}.$$ Para mostrar que $\Psi$ es bijective, podemos utilizar argumentos similares a los que en parte $a)$.