¿La serie $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n(\ln(n))^{2}}$ convergen o divergen?

Question

Como se dijo anteriormente, no esta series convergen o divergen? Hay una cierta identidad/teorema para demostrar esto?

$$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln(n))^{2}}$$

Answer 1

El uso integral de la prueba. Observe usted tiene \begin{align} \int^\infty_3 \frac{dx}{x(\log x)^2} = \int^\infty_{\log 3}\frac{du}{u^2}<\infty. \end{align}

Answer 2

La convergencia de esta serie que sigue a partir de la Kraft–McMillan la desigualdad (enlace de Wikipedia). Hay un binario prefijo de código para los enteros positivos que codifica cualquier entero $n\ge 2$ $\lceil \log_2 n\rceil + 2 \lceil \log_2 \log_2 n\rceil + 1$ bits, de la siguiente manera:

• En primer lugar, escribir una secuencia $11\dots1$ de la longitud de la $\lceil \log_2 \log_2 n\rceil$, seguido por $0$, comunicar el valor de $\lceil \log_2 \log_2 n\rceil$.
• A continuación, escriba $\lceil\log_2 n\rceil$ en binario, que se lleva a $\lceil \log_2 \log_2 n\rceil$ bits, comunicar el valor de $\lceil\log_2 n\rceil$. (El paso anterior era necesario así que nos gustaría saber cuando dejar de leer el valor binario.)
• A continuación, escriba $n$ en binario, que se lleva a $\lceil \log_2 n\rceil$ bits. (El paso anterior era necesario así que nos gustaría saber cuando dejar de leer el valor binario.)

Por lo tanto, por el Kraft–McMillan la desigualdad, $$\sum_{n=2}^\infty 2^{-(\lceil \log_2 n\rceil + 2 \lceil \log_2 \log_2 n\rceil + 1)} \le 1.$$ Pero $2^{-(\lceil \log_2 n\rceil + 2 \lceil \log_2 \log_2 n\rceil + 1)} \sim \frac{1}{2n (\log_2 n)^2}$, que es sólo fuera por un factor constante de $\frac{1}{n (\ln n)^2}$, por lo que $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2}$$ debe converger.

Answer 3

Si uno conoce la prueba de condensación de Cauchy, $$\sum_{n=1}^\infty a_n\text{ converge } \iff \sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n}\text{ converge}$$ se puede observar que la $$ \sum_{n=2}^{\infty }\frac{2^n}{2^n(\ln(2^n))^{2}}=\frac1{\ln^2 2}\cdot\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}<\infty $ $ $ $ el dado de la serie es por lo tanto convergente.

Answer 4

Este es un caso particular de un Bertrand de la serie: $\;\displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac1{x^\alpha\log^\beta x}$.

Esta serie converge si y sólo si

• $\alpha>1$ o
• $\alpha=1$ $\beta>1$.

Esto es fácil de demostrar, mediante la comparación con una serie de Riemann y la integral de la prueba (según el caso).