Si $\gamma\in \Bbb A$ entonces existe un $\pm$cuadrática coefficiented polinomio para que $\gamma$ es una raíz.

Question

$\mathbf{1.\space Proposition}$

Deje $\gamma$ ser una solución a la ecuación:

$$ \sum_{i=0}^n \rm a_i\rm x^i=0, \rm a_i\en\Bbb Z, a_n=1. $$

Entonces, existe un polinomio $p\in \Bbb Z[x]$ tal forma que: $$ p=\sum _{i=0}^m\rm s_ix^i $$

Donde $\rm s_i=(-1)^{k_i}\tau_i^2 \space\space\forall \rm i\in \{0,..,m\}, k_i\in \Bbb Z, \tau_i\in \Bbb Z$, por lo que $\gamma$ es una raíz.

$\mathbf{1.1\space Generalization}$.

Existe una monic polinomio de la satisfacción de las condiciones anteriores.

$\mathbf{1.2\space Generalization}$

En las mismas condiciones de $\rm1$, pero $\rm s_i=(-1)^{k_i}\tau_i^r$, natural de todos los $\rm r$.

$\mathbf{1.3\space Generalization}$

Existe una monic polinomio de satisfacciones $\rm1.2$.

$\mathbf{Important \space implication \space of \space 1.1 }$

Si $\rm 1.1$ es verdad, significa que la condición de $\gamma$ es la raíz de un monic polinomio $p\in \Bbb Z[x]$ es en realidad equivalente a la 'más fuerte' condición de ser una solución a un $\pm$cuadrática coefficiented polinomio $q\in \Bbb Z[x]$.

Answer 1

La proposición: Vamos a $\gamma$ ser un entero algebraico, $r$ un entero positivo impar. Entonces existe un no-cero del polinomio $f\in\mathbb{Z}[x]$ $r$- coeficientes de poder tal que $f(\gamma)=0$.

Esto es una consecuencia de Abedul del teorema sobre la impar-grado de formularios a través de los campos de número en muchas variables. Vamos a necesitar el siguiente caso especial de Abedul del teorema.

Teorema (Abedul): Vamos a $k$ $r$ ser enteros positivos, con $r$ impar. Entonces existe un entero positivo $n$ de manera tal que, si $f_1,\ldots,f_k$ son homogéneos polinomios con coeficientes enteros en $n$ variables, no existe $\vec{x}=(x_1,\ldots,x_n)\neq (0,\ldots,0)\in\mathbb{Z}^n$ tal que $f_1(\vec{x})=\ldots=f_k(\vec{x})=0$.

La prueba de la proposición: se Nos da $\gamma$ e impares $r$. Deje $k=\deg(\gamma)$, y deje $n$ como en la conclusión de Abedul del Teorema. Elegir un integrante de base $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$$\mathbb{Z}[\gamma]$. Para cada una de las $m\geq 0$, no son exclusivos de los números enteros $a_{m,1},\ldots,a_{m,k}$ tal que $\gamma^m=a_{m,1}\alpha_1+\ldots+a_{m,k}\alpha_k$. Para $i=1,\ldots,k$, definir $$ f_i(x_1,\ldots,x_n)=a_{1,i}x_1^r+\ldots+a_{n,i}x_n^r. $$ El $f_i$ $k$ polinomio homogéneo de grado $r$ $n$ variables, por lo que por el Abedul del teorema, tienen un común distinto de cero de la solución de $(x_1,\ldots,x_n)$. Ahora $$ x_1^r\gamma+x_2^r\gamma^2+\ldots+x_n^r\gamma^n=0, $$ como se desee.