Formas alternativas de demostrar que la serie armónica diverge

Question

Esta pregunta me la ha hecho hoy uno de mis alumnos de cálculo: Aparte de usar la prueba integral $$\int_1^\infty \frac{dx}{x} \to \infty,$$ ¿cuáles son otras formas de demostrar la serie armónica? $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ¿diferencia?

Estoy seguro de que hay un montón de métodos por ahí; cualquier método en el que un estudiante típico de Cálculo podría entender sería genial.

Answer 1

Intente aplicar la prueba de comparación a las series armónicas, concretamente a esta serie

$ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + ...$

\= $1 + 1/2 + (1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ...$

\= $1+ 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = \infty$

Como cada término es mayor que el de la serie anterior, la serie armónica también diverge.

Answer 2

La forma más "fácil" en mi opinión es comentar que

$$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq n\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$$

Así que si cortamos la suma entre $1$ y $2^n$ por potencias de dos, tenemos

$$\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^k} \frac{1}{i} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$$

Answer 3

Consideremos la función generadora $$ f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n} $$ y diferenciar en el radio de convergencia para obtener $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \sum_{k=1}^\infty x^{n-1} = \frac{1}{1-x}, $$ que sólo converge para $|x| < 1$ Así que $f(x)$ sólo se definirá en el mismo intervalo, y la serie original es $f(1)$ que es divergente.

Answer 4

Supongamos que

$$S=1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over4}+\cdots$$

es convergente. Como todos los términos son no negativos, debe ser absolutamente convergente. Pero las secuencias absolutamente convergentes pueden ser manipuladas a voluntad, permitiéndonos concluir

$$\begin{align} 2S&=2+1+{2\over3}+{1\over2}+\cdots\\ &=S+\left(2+{2\over3}+{2\over5}+\cdots\right)\\ &\gt S+\left(1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots\right)\\ &=2S \end{align}$$

lo cual es absurdo: Ningún número es mayor que él mismo.