La comprensión de la definición de una variable aleatoria

Question

Estoy trabajando a través de las matemáticas estadísticas del libro en mi propio (siempre he querido aprender), pero yo estoy confundido acerca de la definición de una variable aleatoria. El libro dice que una variable aleatoria es una función del espacio de estado $\Omega$ en algunas espacio de $T$. Entiendo que esto en términos de algunos ejemplos sencillos: tomar un número finito de espacio de estado, donde cada evento tiene una probabilidad. Entonces, teniendo en cuenta algunas $X$, se puede fácilmente calcular $E(X)$ mediante la asignación de cada evento en $\Omega$ $X(\omega)$y así sucesivamente.

Pero, he aquí mi problema: también hablamos de "Normal" variables aleatorias" o "de Cauchy variables aleatorias" o ... estoy teniendo un tiempo difícil conectar dichas variables al azar, para la definición funcional. ¿Cuál es el espacio de estado $\Omega$? Mi primera conjetura sería $\Omega=\mathbb{R}$, pero eso no parece correcto, porque $P(\Omega)=1$ e igual longitud de los intervalos deben tener igual probabilidad, a la derecha? Que no funciona si $\Omega=\mathbb{R}$, aunque...

Answer 1

Primero de todo, una variable aleatoria se define como una función de $X: \Omega \to \mathbb{R}$. Así que para cualquier posible evento en el espacio de estado $\omega \in \Omega$, la variable aleatoria $X(\omega)$ asigna un número real a ese evento.

Estrictamente hablando, las probabilidades son definidos por conjuntos especiales de eventos en $\Omega$. No están definidos en el espacio de destino $\mathbb{R}$. Así que si tenemos que ser precisos, no tiene sentido preguntar "¿cuál es la probabilidad de $X = 3$?" En lugar de eso, debemos preguntar, "¿cuál es la probabilidad de que el conjunto de eventos correspondientes a $X=3$?"

Pero, hay un problema. Las variables aleatorias no son cualquier antiguas funciones. Son medibles funciones de $\Omega \to \mathbb{R}$. Esto significa que cualquier conjunto de valores en el espacio de destino $\mathbb{R}$ corresponde a un conjunto de eventos en $\Omega$, por lo que una probabilidad ha sido definida. Por lo tanto, debido a este hecho, podemos cortar las esquinas y se refieren a "la probabilidad de $X = 3$," aunque no exactamente sentido.

Lo que nos lleva a su pregunta. Cuando hablamos de "Normal" o "de Cauchy" variables aleatorias, estamos describiendo cómo las variables aleatorias asignar probabilidades a los eventos en el espacio de estado $\Omega$. Estamos no se en realidad que describen el estado del espacio mismo. Cuando decimos que, para un Normal r.v. $X$ que $P(X \leq 1) = 0.84$, en realidad estamos diciendo que "la probabilidad de todos los eventos $\omega$ que $X$ se asigna a un número real $\leq$ 1 es igual a 0.84." Pero estos acontecimientos en sí puede ser cualquier cosa.

Así que, en breve, la respuesta es: depende.