¿Cuándo se genera finitamente el álgebra simétrica de un haz vectorial?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva sobre un campo $k$ y $\mathcal L$ un haz vectorial en $X$ , es decir, un $\mathcal O_X$ -de rango finito. Para cada $n\geq 0$ , $\text{Sym}^n \mathcal L$ es un haz vectorial en $X$ Por lo tanto $H^0(X, \text{Sym}^n \mathcal L)$ es una dimensión finita $k$ -espacio vectorial. Consideremos el gradiente $k$ -Álgebra

$$(\text{Sym } \mathcal L) (X) := \bigoplus_{n=0}^\infty H^0(X, \text{Sym}^n \mathcal L).$$

¿Qué tipo de condiciones en $X$ y $\mathcal L$ ¿garantizar que esta álgebra está finitamente generada? ¿Es siempre así?

Answer 1

El anillo que describes es el anillo de secciones globales del espacio total del haz vectorial $\mathcal{L}$ es decir $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}^\bullet(\mathcal{L}))$ . (Esta notación es la construcción "global Spec" para una gavilla de $\mathcal{O}_X$ -algebras).

En general, no es necesario que se trate de un $k$ -(véase este impactante contraejemplo, para un haz vectorial de rango 2 sobre una curva elíptica: http://math.stanford.edu/~vakil/files/nonfg.pdf ).

Es cierto para haces de líneas (muy?) amplios, ya que entonces es el anillo de coordenadas homogéneo de $X$ bajo la incrustación correspondiente. (Leve mentira blanca aquí -- es el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneo).

Es cierto para haces de líneas arbitrarios en variedades tóricas aparentemente: http://arxiv.org/pdf/alg-geom/9608034.pdf .