Para los positivos $a,b,c$, muestran que $$a+b+c = 3abc \implies \frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a} \leq \frac32$$
Este "debe" ser el caso más fácil de una pregunta anterior:
Y me han dicho que a las 3 de la variable de desigualdad problemas con restricciones "viene de" triángulo de problemas de geometría.
Sin embargo, yo no puede progresar incluso en este caso.
Hay una enorme cantidad de problemas sin respuestas en este StackExchange sitio, de la siguiente naturaleza:
Se refieren a tres positivo de las variables.
Se preguntan para demostrar que algunos cíclico de la suma y el producto de las expresiones que involucran las variables es $\leq$ (o $\geq$ ) algunas constantes o de otro cíclico de la suma.
Usualmente implican cierto tipo de restricción que se expresa como una relación de igualdad entre cíclico de sumas y/o productos y/o constantes.
La desigualdad está saturado (es decir, se logra la igualdad) a $a=b=c$, por lo general, con la escala, uno puede encontrar un equivalente problema donde se logra la igualdad en $a=b=c=1$.
No hay respuestas satisfactorias están presentes en la StackExchange pregunta.
En muchos casos, el problema se ha sugerido por @Michael Rozenberg. Me gustaría encontrar algún kit de herramientas para atacar este tipo de problemas. Yo solía ser muy bueno en estos, pero tengo la sospecha de que mi cerebro es la edad de salir de esa situación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desde $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3,$$ de ello se sigue que $$\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\le 1+\frac{1}{ab}+1+\frac{1}{bc}+1+\frac{1}{ca}=6.$$ Así: $$\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\le 3.$$ Ahora $$\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}},$$ y así nos da $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le \frac32.$$
