En un espacio métrico, el cierre de bola de $\bar{B}(x,r)$ no es siempre el cierre de la apertura de la bola de $B(x,r)$

Question

Lee la pregunta:

Sean (X,d) un espacio métrico. Para $x \in\ X$ $r>0$ la bola cerrada de radio $r$ centrada en $x$ es el conjunto $\bar{B}(x,r)$ definido por $\bar{B}(x,r) = \{y \in X: d(x,y) \leq r\}$.

Mostrar que el conjunto de $\bar{B}(x,r)$ es, de hecho, cerrado en $X$, sino que este conjunto no tiene que ser igual a $\overline{B(x,r)}$, el cierre de $B(x,r)$$X$.

He separado el problema en dos partes, mostrando el $\bar{B}(x,r)$ es cerrado y, a continuación, mostrando que no es necesariamente igual a la de cierre. Creo que he probado la primera parte, pero no estoy seguro. Mi razonamiento es el siguiente:

Considere la posibilidad de $X/\bar{B}(x,r) = \{y \in X: d(x,y)>r\}$
$\forall x \in X,\ \exists r>0\ $ s.t. $\ B(x,r)\subset X/\bar{B}(x,r)$
$\therefore X/\bar{B}(x,r)$ está abierto
$\therefore \bar{B}(x,r)$ está cerrado

Este razonamiento parece tan claro para mí que el resto de los ejemplos proporcionados en mis notas, pero a mí me parece demasiado generales para el trabajo. Tal vez ese es mi aplicada/stat de fondo mostrando, pero me gustaría mucho prefieren pruebas más concretas. ¿Alguien puede decirme si estoy en la dirección correcta, o estoy más confundido de lo que yo pensaba?

Edit: En respuesta a Weaam la respuesta

Deje $\gamma\in X/\bar{B}(x,r)$
A continuación, $d(x,\gamma) > r$
Set $r_{1} = d(x,\gamma) - r$ y considerar la posibilidad de $B(\gamma,r_{1})$
Deje $z \in B(\gamma,r_{1})$
A continuación, $d(x,z)\geq |d(x,\gamma) - d(\gamma,z)|$
$ = |r_{1}+r-d(\gamma,z)| > |r_{1}+r-r_{1}|$
$=|r| = r$
$\therefore z\in X/\bar{B}(x,r)$ $B(\gamma,r_{1})\subset X/\bar{B}(x,r)$
$\therefore X/\bar{B}(x,r)$ está abierto
$\therefore \bar{B}(x,r)$ está cerrado

Answer 1

$\bar{B}(x,r)$ está cerrado

Deje $y \in X/\bar{B}(x,r)$. A continuación,$d(x,y) > r$, y se pueden establecer las $r_1 = d(x,y) - r > 0$ como radio de abrir balón $B(y, r_1)$. Necesitamos mostrar este radio se mantiene abierta la pelota dentro de $X/\bar{B}(x,r)$. Si $z \in B(y, r_1)$, $d(z,x) > r$ (Aplicar la desigualdad triangular entre x,y,z para justificar este). Por lo tanto, $z \in X/\bar{B}(x,r)$

Un contraejemplo a $\bar{B}(x,r) = \overline{B(x,r)}$

El cierre de la $\overline{B(x,r)}$ es el menor conjunto cerrado que contiene a $B(x,r)$, es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $B(x,r)$. Por lo $\overline{B(x,r)} \subset \bar{B}(x,r)$ es por definición. Por el contrario, el siguiente exhibe una métrica espacios con $B(x,r)$ contenida en un conjunto cerrado stricly menor que $\bar{B}(x,r)$.

Considere la posibilidad de $(X,d)$ con el discreto espacio métrico. Supongamos $X \neq \{x\}$, es decir, tiene más de un elemento. Abierto las bolas en este indicador son: $$B(x,r) = \{y \in X: d(x,y) < r\} = \begin{cases}\{x\} & r \leq 1 \\ X & r > 1\end{cases}$$

Tome $r = 1$. A continuación, $\overline{B(x, 1)} = \overline{\{x\}} = \{x\}$ ya que los únicos están cerrados.

Sin embargo, $\bar{B}(x,1) = \{y \in X | d(x,y) \leq 1 \} = X$. Por lo tanto, $\overline{B(x, 1)} \neq \bar{B}(x,1)$.