Asociatividad, Jacobi y representaciones de autoacción

Question

Hace aproximadamente un año y medio, asistí a una charla de Martin Hyland en la que sugirió que la identidad de Jacobi es a la ley asociativa lo que la ley anticonmutativa es a la ley conmutativa. Creo que esto fue en el contexto de algún tipo de dualidad para operadas, pero no lo entendí en ese momento.

Más recientemente, he llegado a comprender que la ley asociativa y la identidad de Jacobi son esencialmente lo mismo en el siguiente sentido: ambas hacen posibles las representaciones de la autoacción. En efecto, la ley asociativa dice $$(x \cdot y) \cdot {-} = (x \cdot {-}) \circ (y \cdot {-})$$ y la identidad de Jacobi dice $$[[x, y], {-}] = [[x, {-}], [y, {-}]]$$

Pregunta. ¿Hay alguna forma de precisar esto en el lenguaje del álgebra universal o de la teoría de categorías (enriquecida), y existen otros ejemplos?

Answer 1

Esto no es una respuesta a tu pregunta, pero esta analogía siempre me ha molestado porque la acción de un monoide (digamos) sobre sí mismo por multiplicación a la izquierda siempre es fiel, pero la acción de un álgebra de Lie sobre sí misma por corchete a la izquierda generalmente no lo es.

Una analogía mejor es pensar en la acción de un grupo sobre sí mismo mediante conjugación que no siempre es fiel pero, por otro lado, preserva la estructura del grupo. Análogamente, el paréntesis izquierdo es una derivación para sí mismo (y esto también es equivalente a la identidad de Jacobi). En efecto, diferenciando la acción de conjugación de un grupo de Lie $G$ exactamente te consigue el soporte Lie en $\mathfrak{g}$ .

Esto sugiere vagamente que tal vez desee consultar la bibliografía sobre mandos .