El recuento Periódico de Órbitas en un Hexágono regular

Question

Una órbita en un polígono es una ruta que una "bola de billar" (un punto) iba a seguir si se obedeció la ley de Snell de la reflexión (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). Una órbita periódica es una órbita que retorna al mismo punto con el mismo ángulo inicial (se tiene en cuenta el menor número de tal manera como para evitar repeticiones). En este caso, el período de una órbita periódica es el número de aristas de bateo de eventos.

Mi pregunta es la siguiente:

Es alguien consciente de un (posiblemente clásica) con el resultado de la prueba de que nos dice cuál es el período de una órbita periódica en un hexágono regular sería dado el ángulo inicial o un vector que define el ángulo?

Answer 1

En general, estos problemas son muy difíciles, pero estamos de suerte con el hexágono regular, ya que las baldosas del avión en virtud de la reflexión.

Vamos a dejar que la parte inferior de la (unidad) hexagonal se encuentran a lo largo de la $x$-eje. Deje $v$ ser el vector inicial de la bola de billar, y escribir $$v=a\begin{pmatrix}\sqrt{3}/2\\1/2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ Estos vectores son elegidos porque son la base para la rejilla de hexágonos en el plano. La trayectoria es periódica iff $a/b$ es racional, en cuyo caso podemos escala de $v$ tal que $a,b\in\mathbb Z$$\gcd(a,b)=1$, y de la duración del período es sólo $\|v\|$. El número de bordes de ataque es $a+b$.

Nota para los expertos: Mientras que el hexágono regular las baldosas del avión en virtud de la reflexión, no es un regularizeable sistema, ya que el mosaico se rompe si tomamos en cuenta la orientación. Esto significa que un poco molestos de la mesa de billar, incluso si se conserva la periodicidad de una trayectoria, el doble de la duración del período.