Las propuestas se refieren a varios sectores fundamentales, que pueden presentarse en forma de programa:

Question

Podemos decir que el número de $N \in \mathbb{N}$ tiene la propiedad de $P(k)$ si puede ser incorporado en un producto de $k$ consecutivos de números naturales (no igual a $1$).

Encontrar el valor de $k$, que algunos $N$ simultáneamente tiene las propiedades $P(k)$$P(k+2)$.

Este es un problema de un Soviético de alta escuela del concurso de matemáticas (1981).

El libro lo encontré en sólo ofrece la siguiente respuesta:

$$k=3;~~720=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=8 \cdot 9 \cdot 10$$

Es esta la única solución?

¿Cómo puede este problema puede solucionarse en general? (El uso de alto nivel de la escuela de matemáticas)

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Mi intento. Para algunos $n(N,k), m(N,k) \in \mathbb{N}$ tenemos:

$$N=\frac{n!}{(n-k)!}$$

$$N=\frac{m!}{(m-k-2)!}$$

Obviamente:

$$m<n$$

Así que me parece que tenemos tres variables de la ecuación que hay que resolver en números naturales $m,n,k$:

$$\frac{n!}{m!}=\frac{(n-k)!}{(m-k-2)!}$$

No estoy seguro de cómo esto puede ser solucionado.

Supongo que también podemos escribir:

$$\frac{N}{k!}=\left( \begin{array}( n \\ k \end{array} \right)$$

$$\frac{N}{(k+2)!}=\left( \begin{array}( ~~~m \\ k+2 \end{array} \right)$$

Así:

$$(k+1)(k+2)\left( \begin{array}( ~~~m \\ k+2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}( n \\ k \end{array} \right)$$

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Editar

Abusando de Mathematica he encontrado varias otras soluciones (ver también @stewbasic del comentario):

$$k=20,~~~~n=24,~~~~m=23,~~~~N=25852016738884976640000$$

$$k=55,~~~~n=60,~~~~m=59,~~~~N= \text{a very big number}$$

Me pregunto, ¿ todas las soluciones a excepción de $k=3$ $k=4$ obedecer a la regla:

$$n=m+1$$

Para este caso se puede escribir:

$$m+1=\frac{(m-k+1)!}{(m-k-2)!}=(m-k-1)(m-k)(m-k+1)$$

Así, obtenemos una ecuación de Diophantine:

$$ m^3- 3 k m^2+ 3 k^2 m - 2 m-1 + k - k^3=0$$

$$(m-k)^3=2m+1-k$$

Este tiene muchas soluciones, parece, por ejemplo:

$$k=328,~~~~m=335$$

$$k=495,~~~~m=503$$

$$k=710,~~~~m=719$$

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Todo esto no responde a mi pregunta - cómo los estudiantes de secundaria se supone que para resolver este problema?

También, hay sólo una $N$ por cada $k$ en general? Cómo mostrar si esto es verdad?

Answer 1

Entero de soluciones de la ecuación (en el caso $n=m+1$) $(m-k)^3 = 2m+1-k$ se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones lineales en $m$$k$: $$ \eqalign{t &= m-k\cr t^3 &= 2m + 1 - k\cr}$$ para obtener $$ m = t^3 - t - 1, \ k = t^3 - 2 t - 1 $$ Esto da un número entero positivo de los valores de $m$ $k$ fib $t$ es un número entero $\ge 2$.