Calcular $\int\limits_Q^1\sqrt{(1-x^2)(1-\frac{Q^2}{x^2})}\mathrm{d}x$

Question

Estoy tratando de calcular la integral $$\int\limits_Q^1\sqrt{(1-x^2)(1-\frac{Q^2}{x^2})}\mathrm{d}x$$ donde $0\leq Q <1$ es un número real.

Traté de sustituir $x=\cos y,$, pero este no trae mucho. Mi otra idea era usar el complejo de integración a lo largo de las líneas de https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Example_.28VI.29_.E2.80.93_logarithms_and_the_residue_at_infinity. Sin embargo, yo no estoy completamente seguro de cómo proceder, y a tomar mis cortes de ramas.

Sugerencia: Arce rendimientos a la solución $$\frac{\pi}{4}Q^2-\frac{\pi}{2}Q+\frac{\pi}{4}.$$

Answer 1

$$\mathrm{ I=\int_Q^1{\sqrt{(1-x^2)(x^2-Q^2)}\over x}\,dx }$$ El uso de la sustitución $$\mathrm{ (1-x^2)=z^2(x^2-Q^2)\\ \implica -2xdx=2z(x^2-Q^2)dz+2z^2xdx\\ \implica -x(1+z^2)dx=z(x^2-Q^2)dz\quad\cdots(1) }$$ La definición de $\mathrm z$ implica $$\mathrm{ -x^2(1+z^2)=-(1+z^2C^2)\;\cdots(2) }$$ La combinación de $(1),(2)$ tenemos $$\mathrm{ -{(1+z^2C^2)\sobre x}dx=z(x^2-Q^2)dz=z\left({1+z^2C^2\over1+z^2}-Q^2\right)dz=z{1-P^2\over1+z^2}dz }$$ Y por lo tanto nuestros integral se convierte en $$\mathrm{ I=(1-P^2)^2\int_0^\infty{z^2\(1+z^2)^2(1+z^2C^2)}dz }$$ El integrando tiene polos de orden $2$ $\mathrm{z=\pm i}$ simple y pol $\mathrm{\pm{i\over Q}}$. Si utilizamos un semi-circular de contorno en la mitad superior del plano -, sólo se encierran los polos $\mathrm{ i, {i\over Q}}$ a que los residuos se $-\mathrm{i(1+Q^2)\over4(1-Q^2)^2}$$\mathrm{iQ\over2(1-Q^2)^2}$, respectivamente, y por lo tanto (omitiendo algunos detalles) la integral es $$\mathrm{ (1-P^2)^2{1\over2}\times2\pi i\left[\mathrm{i(1+Q^2)\over4(1-P^2)^2}-\mathrm{ci\over2(1-P^2)^2}\right]\\ =\frac{\pi}{4}P^2-\frac{\pi}{2}Q+\frac{\pi}{4} }$$

Answer 2

Se puede comprobar que (ya que no hay una respuesta seleccionada, no tengo la energía o la motivación para dar todos los detalles, pero hay que empezar con $x\mapsto x^2$) no es una primitiva $$ \frac{1}{2}\sqrt{(x^2-Q^2)(1-x^2)}+\frac{1}{2}(1+Q^2)\arctan\sqrt{\frac{P^2-x^2}{1-x^2}} +Q\arctan\biggl(Q\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2-Q^2}}\biggr) $$ Inserte límites (límites de uso) para encontrar que $$ \int_Q^1\sqrt{(1-x^2)(1-P^2/x^2)}\,dx=\frac{\pi(1-Q)^2}{4}. $$