"Forma" estándar de un morfismo finito"

Question

Cada morfismo étale es localmente (pasando a vecindarios afines y luego a sus anillos de coordenadas) de la forma $A \to (A[x]/(P(x)))_b$ donde $P(x)$ tiene la propiedad de que $P'(x)$ es invertible en $(A[x]/(P(x)))_b.

¿Algo parecido es cierto para un morfismo finito general? ¿morfismo finito plano?

(Estoy tratando de entender la prueba para la declaración de morfismos étale del proyecto de stacks, Álgebra 133.16 y no puedo entender si la etaleidad es crucial para la prueba -- por supuesto, entonces no se necesita la condición en $P'(x)$)

Answer 1

¡No, esto es falso incluso para extensiones de campos finitos!

Sea $K=k(x,y)$ donde $k$ es un campo de característica $p>0$. Sea $L=K[x^{1/p}, y^{1/p}]$. Entonces $L/K$ es finito y plano. Pero $L$ no puede ser generado por un solo elemento sobre $K$ (incluso hasta la localización).

Edición Agregar un nuevo ejemplo (ver comentarios).

Sea $A=\mathbb C$, $B=A[x,y]/(x^2, y^2)$. Entonces $A\to B$ es una extensión finita de anillos locales con extensión de residuos trivial. Pero aún así no es monogéneo.