Hallar los lados del triángulo.

Question

El triángulo con lados de $8-15-13$ $60^{\circ}$ ángulo. El triángulo con lados de $11-35-31$ también tiene un $60^{\circ}$ ángulo. Encontrar un triángulo $x-y-403$ donde $x$ $y$ son relativamente primos enteros positivos y el ángulo opuesto al lado de la longitud de la $403$ $60^{\circ}$ ángulo.

He estado tratando este problema pero no la solución. Soy incapaz de encontrar cómo puedo usar la información para resolver esto.

Es el dado información suficiente para resolver el problema?

Si sí, ¿alguien puede decirme por favor cómo puedo usarlos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Estamos buscando para el entero de las soluciones de $ \frac{x^2+y^2-403^2}{2xy}=\frac{1}{2}$ o $$ x^2-xy+y^2 = 403^2 = 13^2\cdot 31^2.\tag{1} $$ Es fundamental señalar que el lado izquierdo de $(1)$ es la norma en el dominio Euclídeo $\mathbb{Z}[\omega]$ (el anillo de enteros de Eisenstein) que es una única factorización de dominio. $31$ divisiones como $(6+\omega)(6+\omega^2)$ $13$ divisiones como $(4+\omega)(4+\omega^2)$, por lo tanto las soluciones de $(1)$ sobre los enteros positivos, con $x\leq y$, están dadas por:

$$(x,y)\in\color{red}{\left\{( 403 , 403 ), ( 80 , 437 ), ( 357 , 437 ), ( 115 , 448 ) , ( 333 , 448 ) ,\\ ( 143 , 455 ) , ( 312 , 455 ) , ( 217 , 465 ) , ( 248 , 465 ) \right\}}\etiqueta{2} $$