Isomorfismo en teoría de grupos

Question

Creo que es una pregunta fácil, pero por algunas razones por las que estoy confundido. Gracias por su ayuda! Vamos $G$, $H_1$ y $H_2$ ser grupos finitos. Si

$G/H_1\cong G/H_2$, es cierto que $H_1\cong H_2$?

Si no, ¿sabes que un contraejemplo?

Gracias!

Answer 1

No. Tome $G=\mathbf{Z}_2 \oplus\mathbf{Z}_4$. Deje $H_1 = \mathbf{Z}_2\times\langle 2\rangle$, e $H_2=\{0\}\times\mathbf{Z}_4$. A continuación,$G/H_1 \cong \mathbf{Z}_2\cong G/H_2$, pero $H_1$ es el Klein $4$- $H_2$ es cíclico de orden $4$.