Son preguntas de convergencia importante en la vida real?

Question

En el mundo real, cada vez necesita preocuparse acerca de la convergencia y qué no? No estoy hablando acerca de si las funciones recursivas y tales terminar, pero la convergencia en el análisis. Parece que la finitud del universo hace preguntas sin sentido. Lo pregunto porque se parece a menudo como los físicos y estadísticos son muy laxas sobre la convergencia. Sé que los físicos parecen cuidado de vez en cuando (funciones de onda deben ser en normalizable es decir, en $L^2$), pero no parece ser realmente importante.

Entonces, ¿cuáles son algunos de los del mundo real motivos para preocuparnos de convergencia?

Answer 1

Siempre que utilice un método numérico para aproximar algo, le gustaría saber que su respuesta numérica será cercano al valor real. Una situación común es que la aproximación numérica es $A(n)$ donde $n$ es un parámetro (por ejemplo, el número de pasos que se utilizan). Si la respuesta verdadera es $T$, le gustaría saber que $\lim_{n \to \infty} A(n) = T$, que dice que usted puede asegurarse de que su aproximación es tan cerca como se desee a la verdadera respuesta al tomar $n$ lo suficientemente grande.

Por supuesto, usted realmente desea tener información más detallada (es decir, para una determinada tolerancia $\epsilon$, cuán grande para tomar $n$ para tener $|A(n) - T| < \epsilon$), pero el hecho de que el límite es de $T$ es un buen comienzo - si no fuera cierto, significaría que si usted quiere realmente buenas aproximaciones que usted debe buscar para los diferentes métodos.

Answer 2

Yo diría que la más importante razón para estar preocupados acerca de la convergencia en el 'mundo real' es que las declaraciones que se demostró en la ausencia de preocupaciones acerca de la convergencia puede ser rotundamente falso! El ejemplo más sencillo que viene a la mente es la serie geométrica; el hecho de que $\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$ es increíblemente útil y tiene un montón de aplicaciones, tanto directamente en el mundo real y en hacer otras matemáticas que luego se aplica a problemas del mundo real—, pero tienes que tener cuidado de no concluir que la $1+2+4+8+\cdots = -1$!

(y soy bien consciente de que incluso este "absurdo" que la conclusión puede tener sentido en determinadas circunstancias—, pero no es cierto en $\mathbb{R}$ tal y como está, y hay mucho más insidioso versiones de el mismo error donde las interpretaciones que se pueden aplicar aquí mucho menos sentido.)

Answer 3

Un divertido ejemplo que se me ocurre a la derecha de la parte superior de mi cabeza es de la paradoja de Zenón de movimiento

Para moverse en la milla, primero tendría que mover la mitad de una milla, y luego la mitad de esa mitad, y así sucesivamente y así sucesivamente, por lo que parece nunca llegar a la milla....Ahora podemos decir que converge a 1 milla, pero en aquel entonces era un verdadero cerebro de la explosión.