¿Hay alguna relación entre los valores propios de, posiblemente, no Hermitian de la matriz a y los de exp(A)?

Question

¿Hay alguna relación entre los valores propios de, posiblemente, no Hermitian de la matriz a y los de exp(A)?

Para hermitian matrices, sólo son exponenciales de los valores correspondientes. Pero, en general, cualquier relación?

Gracias.

Answer 1

La misma relación se mantiene. Para ver esto, traer a $A$ en forma normal de Jordan y observar que $\exp{(TAT^{-1})} = T\exp(A)T^{-1}$. Puesto que los poderes de una parte superior triangular de la matriz es triangular superior, las entradas de la diagonal de la exponencial de una triangular superior de la matriz son las exponenciales de las entradas de la diagonal de la matriz original y listo.

Lo que es especial acerca de la Hermitian caso, sin embargo, es que $\exp{(iA)}$ es una matriz unitaria debido a $\exp(iA)^{\ast} = \exp{(-iA)}$ $\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)$ de los desplazamientos de las matrices.

Answer 2

El mismo resultado se da en general. Este es probablemente más fácil para ver el uso de la forma canónica de Jordan.

Los resultados de este formulario van bajo el nombre de "mapeo espectral teorema". Si $f$ es cualquier potencia de la serie, cuyo disco de convergencia contiene los autovalores de a $A$, entonces los autovalores de a $f(A)$ son precisamente los valores de $f$ evaluados en los valores propios de a $A$, como se puede ver en primer lugar con polinomios usando Jordan en la forma y, a continuación, tomar límites. También se puede aplicar holomorphic funciones mediante integrales de Cauchy en contextos donde el poder de la serie no son aplicables , como se ha visto en un contexto más general en el artículo de la Wikipedia en holomorphic funcional de cálculo. El mapeo espectral teorema sostiene allí, también.

Answer 3

Si usted está dispuesto a olvidarse de los problemas de la convergencia por un momento, a pensar en primer lugar con polinomios: vamos a

$$f(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots + a_n t^n$$

y $A$ cualquier matriz cuadrada. Entonces

$$f(A) = a_0 I + a_1 + a_2^2 + \cdots + a_n A^n \ .$$

Suponga $v$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$: $Av = \lambda v$. Entonces

$$\begin{align} f(A)v &= a_0 Iv + a_1 Av + a_2 A^2v + \cdots + a_n A^nv \\ &= a_0 v + a_1 \lambda v + a_2 \lambda^2 v + \cdots + a_n \lambda^n v \\ &= \left( a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda^2 + \cdots + a_n \lambda^n \right) v \\ &= f(\lambda ) v \ . \end{align}$$

Es decir, $v$ también es un autovector de a $f(A)$ con autovalor $f(\lambda )$.

El mismo resultado se tiene para funciones analíticas,$\exp$: si

$$f(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n$$

a continuación, también se $v$ es un autovector de a $f(A)$ con autovalor $f(\lambda )$.

Así que, para no importa qué tipo de matriz cuadrada $A$ si $v$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$, $v$ es un autovector de a $\exp (A)$ con autovalor $\exp (\lambda )$.