Producto escalar

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio de Cheney Análisis de Matemática Aplicada. Deje $X$ ser una normativa espacio lineal con $a,b,c\in X$ tomado como fijo vectores, y considere la ecuación

$x+\langle x, a\rangle c = b$

El objetivo de encontrar una solución general $x$. Hay evidencia de que se de el caso trivial de soluciones (es decir, cuando $b\perp a$, $x=b$). Basado en el hecho de que este ejercicio es en la primera sección de Hilbert espacios, estoy inclinado a pensar que debo ser capaz de resolver mediante la aplicación de los axiomas de un producto interior en el espacio. He tratado de tomar el producto interior de ambos lados con una combinación de $a,b,$ o $c$, pero hasta el momento, sin éxito.

Answer 1

A partir de

$$x+\langle x,a\rangle c=b \tag 1$$

formamos el producto interno con $a$ para obtener

$$\langle x,a\rangle+\langle x,a\rangle \langle c,a\rangle =\langle b,a\rangle \tag 2$$

Resolución de $(2)$ $\langle x,a\rangle$ producciones

$$\langle x,a\rangle=\frac{\langle b,a\rangle }{1+\langle c,a\rangle } \tag 3$$

$1+\langle c,a\rangle \ne0$. Revela la sustitución de $(3)$ $(1)$ y $x$ de problemas

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{x=b-\frac{\langle b,a\rangle }{1+\langle c,a\rangle }c }$$

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Como señala @Chappers, para el caso $1+\langle c,a\rangle =0$, tenemos

$$x=b+sc \tag 4$$

para cualquier complejo % valor $s$. Fácilmente podemos comprobar consistencia de esta solución por sustitución $(4)$ $(1)$ y usando el hecho de que $1+\langle c,a\rangle =0 \implies \langle b,a\rangle =0$.

Answer 2

Complementa la otra respuesta, si $\langle c,a \rangle = -1$, la solución es más degenerada: en primer lugar, hemos de tomar el producto interior con $a$, $$ \langle x,a \rangle(1+\langle c,a \rangle) = 0 = \langle b,a \rangle. $$ Ahora, teniendo un vector de la forma$x=b+tc+y$, $t$ real y $\langle y,c \rangle = 0$, tenemos $$ b+tc+y + \langle b+tc+y,a \rangle c = b, $$ que el uso de lo que tenemos hasta ahora cancela a $$ y+\langle y,a \rangle c = 0 $$ Pero ahora tomando el interior del producto con $y$, nos encontramos con $$ 0 = \langle y,y \rangle + \langle y,a \rangle \langle y,c \rangle = \langle y,y \rangle, $$ por lo $y=0$ y llegamos a la conclusión de que la forma más general posible solución es la línea de $$ \{b+tc : t \in \mathbb{R}\}. $$ (Si el espacio es complejo, funciona para cualquier compleja $t$ si la linealidad es en el primer argumento, pero por lo demás sólo para verdaderos $t$.)