Estoy empezando a aprender categoría de teoría, pero hay una cosa que no entiendo: todos los morfismos parecen ser homomorphisms; la definición parece ser el mismo. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos? Me puede dar un ejemplo de no-homomórfica de morfismos?
Gracias por su paciencia,
En primer lugar, tenga en cuenta que el término "homomorphism" es anterior tanto el término "morfismos" y la creación de la categoría de teoría.
"Homomorphism," en líneas generales, se refiere a un mapa entre conjuntos equipado con algún tipo de estructura que se conserva de esa estructura. La colección de todos los conjuntos estructurados y homomorphisms entre ellos mismos, lo que forma una categoría $C$, pero esta categoría es en sí mismo equipadas con algo más de estructura, es decir, un fiel functor $C \to \text{Set}$, lo que es un hormigón categoría.
"Morfismos," por otro lado, se refiere a una flecha en cualquier categoría. En particular, una categoría arbitraria no necesita ser concretados (y de hecho algunas categorías no pueden ser concretados!). Sus objetos no necesita ser interpretado como conjuntos y sus morfismos no necesitan ser interpretadas como funciones: hay muchas otras maneras de escribir las categorías que pensar en conjuntos estructurados.
Aquí está un ejemplo de una categoría donde los morfismos no homomorphisms," pero en realidad no debe pensar de esa manera: considere la categoría cuyos objetos son los grupos y cuyos morfismos son todas las funciones (no necesariamente la preservación de las operaciones del grupo). (La razón por la que digo que no debería pensar de esa manera es que, a una categoría teórico, los objetos son sólo los marcadores de posición que se describe cómo morfismos puede componer: toda la información importante está en el morfismos, así que no tengo derecho a llamar a los objetos de esta categoría de grupos si no puedo detectar su estructura de grupo utilizando morfismos.)
Concretizations de categorías ambos son análogos a y generalizar las acciones del grupo. Uno de los más importantes de los hábitos de pensamiento se puede recoger, mientras que el aprendizaje de la categoría de la teoría es pensar acerca de las categorías de manera abstracta, sin que la elección de una concretización, en la misma forma en que usted piensa acerca de los grupos de manera abstracta, sin que la elección de un grupo de acción.
Ya hay algunos excelentes respuestas aquí, pero permítanme añadir algo un poco diferente punto de vista.
Primero de todo, homomorphism no es una palabra que puede ser utilizado abiertamente (por así decirlo) en matemáticas. Es una función entre dos estructuras que conserva su estructura, en algún sentido, y este sentido ha de ser especificado como parte de la teoría de las estructuras. (E. g. en la teoría de grupos, definimos el grupo de homomorphisms; en la teoría de anillos, definimos anillo homomorphisms, etc.)
También, en ciertos contextos, no se puede competir nociones de homomorphisms (para anillos con identidad, debe el homomorphisms preservar la identidad?; para espacios de Banach, debe morfismos ser simplemente continua, o deben preservar la norma?); en cualquier situación particular, si aún no está claro en el contexto, se tiene que especificar que la definición que usted está utilizando.
Ahora, en algunas situaciones, nosotros no uso la palabra homomorphism; por ejemplo, no hablamos de un homomorphism de espacios topológicos (en su lugar, hemos continua mapas entre espacios topológicos). La opción de si o no el uso de la palabra homomorphism es en cierta medida, dictada por la tradición, y también por la matemática general de la cultura; la más algebraica de las estructuras bajo consideración son, más probable es que la palabra homomorphism es para ser utilizado con respecto a ellos.
Ahora la categoría de la teoría de los resúmenes de la noción de estructura matemática y la estructura de la preservación de los mapas entre ellos. Como ya se ha señalado en otras respuestas, no todas las categorías son de hormigón, o, incluso si lo son, no son, naturalmente, pensar como el hormigón. Y si estamos hablando de una categoría arbitraria, no se especifica qué tipo de objetos los objetos son en realidad; acabamos de escribir $\mathcal C$, e $x \in\operatorname{Ob}\, \mathcal C$, e $f: x \to y$, sin especificar lo $\mathcal C$ es (como en los teoremas de una teoría de grupo de texto, no se especifica lo que el grupo $G$ es o lo que elementos de la $x$ son o lo que su funcionamiento es; que es solamente un resumen, el grupo no especificado).
Ahora los fundadores de la categoría teoría, sabían que eran la abstracción de una situación en la que muy a menudo la categoría a la que iba a consistir de estructuras algebraicas y homomorphisms entre ellos. Pero también sabían que eran la abstracción de los ejemplos de espacios topológicos y continua de los mapas, donde homomorphism es no el término tradicional. Por lo tanto, se eligió morfismos como estar lo suficientemente cerca como para homomorphism a ser sugerente, pero no idénticos, de manera que no dé la impresión psicológica de descartar contextos como espacios topológicos y continua de los mapas. [Este último párrafo es de mi invención, no la real de la historia, pero que es probablemente muy cerca de la real de la historia, y esperemos que obtiene el punto a través.]
Finalmente, cabe señalar que, a menudo, ahora en matemáticas de la gente habla de un morfismos de anillos o grupos o ..., es decir, colocar el prefijo homo-, y creo que esta es la influencia de la categoría general de la teoría de la terminología.
Voy a proceder a especificar una categoría $\mathcal{C}$:
Los objetos de $\mathcal{C}$ son como sigue: $\;\;\mathrm{ob}(\mathcal{C})=\{\star,\diamond\}$
Los morfismos de $\mathcal{C}$ son de la siguiente manera:
$$\begin{align*} \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(\star,\star)&=\{\mathrm{id}_{\star}\}& \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(\diamond,\diamond)&=\{\mathrm{id}_{\diamond}\}\\[0.1in] \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(\star,\diamond)&=\{\heartsuit\}&\mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(\diamond,\star)&=\{\bullet\} \end{align*}$$
Son los morfismos de $\mathcal{C}$ homomorphisms?
(A lo que voy es: ¿qué haría incluso significa ser un homomorphism de$\star$$\diamond$?)
Los morfismos en una categoría no tienen que ser las funciones, y mucho menos homomorphisms. Todo lo que se requiere de un morfismos en una categoría es saber cuál es su dominio y codominio son, y cómo componer con todos los morfismos en la categoría.
Ejemplos de categorías en las que los morfismos no son funciones: Cualquier poset $(P,\le)$ puede ser considerado como una categoría donde los objetos son los elementos en $P$ y un morfismos $x\to y$ existe iff $x\le y$.
La categoría de $Rel$, cuyos objetos son todos los conjuntos y un morfismos $f:A\to B$ es una relación, es decir, un subconjunto $f\subseteq A\times B$.
La categoría de $Mat$ cuyos objetos son los números naturales, y una de morfismos $n\to m$ $n\times m$ matriz (con real entradas para simplificar). La composición es la multiplicación de la matriz.
El término 'homomorphism" generalmente se refiere a la estructura de la preservación de los mapas entre algebraica de los objetos, como grupos, anillos y espacios vectoriales. Por lo tanto, en categorías como $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ring}$, y $\mathbf{Vect}_k$, los morfismos puede ser llamado homomorphisms.
Pero en otras categorías como $\mathbf{Top}$, la categoría de todos los espacios topológicos, los morfismos son funciones continuas, que no son realmente conoce como homomorphisms. De hecho, una de morfismos no necesita ser una función del todo. Fijar un anillo conmutativo $R$. La categoría de $\mathbf{Matr}_R$ se compone de todos los enteros positivos como objetos, y cada una de las $m \times n$ matriz $A$ con las entradas de $R$ es considerado como una de morfismos $A : n \to m$.
Así que creo que estás confundido. El término 'homomorphism', siempre que sea aplicable, significa exactamente lo mismo como morfismos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
