Sobre los generadores de un finitely generado ideal

Question

Deje $R$ ser un anillo con $1$. Deje $S$ ser un subconjunto de a $R$, con una infinidad de elementos. Deje $\mathfrak{i}$ a ser el ideal de $R$ generado por $S$. Supongamos $\mathfrak{i}$ finitely generado: $$\mathfrak{i}=Rr_1+\ldots+Rr_n$$ con $r_i\in R$. Puedo encontrar siempre los generadores $r_i$'s $S$?

Answer 1

Sí, sí puede. Supongamos $I=\lbrace a_1 r_1+\cdots +a_nr_n|a_i\in R\rbrace$, ahora cada una de las $r_i\in I$ implica que uno puede escribir $r_i=\sum_{j=1}^{n_i} a_{i_j}s_{i_j}$ donde $s_{i_j}\in S$. Luego tenemos a $I\subseteq\lbrace \sum_{i=1}^ma_i s_i|a_i\in R\rbrace :=J$ para un número finito de $s_j$'s. También tenga en cuenta que $J\subseteq I$, debido a $I$ es generado por $S$ $s\in I$ por cada $s\in S$.