Determinante de perturbación de la aproximación

Question

El siguiente problema viene de un máximo de probabilidad cálculo de gauss para las familias, pero es de interés independiente.

Es posible encontrar una forma cerrada de aproximación para valores pequeños de a $x$

$\text{det}(B + xI)$

donde I es la matriz identidad y B es hermitian rango deficiente positivo semidefinite?

Answer 1

Voy a suponer que usted ya sabe que los autovalores de a $B$. Desde $B$ es simétrica positiva semidefinite, puede ser descompuesto como $$ B = U D U^T $$ donde $U$ es una matriz ortogonal y $D$ es la diagonal de no negativo de autovalores (algunos de los cuales pueden ser exactamente cero).

Ahora $$ B+xI = U D U^T + x U U^T = U (D + x I) U^T $$ y puesto que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios y el determinante es distributiva sobre la matriz de productos, entonces $$ |B+xI| = |D+xI| = \prod_n (d_n + x) $$ donde $d_n$ $n$th diagonal de entrada de $D$.

Answer 2

En la segunda @cardenal de la respuesta, sino que proporcionan un sencillo truco: Si $p(z)$ es un polinomio (con potencias enteras), y $\mathbf{v}, \lambda$ son autovector correspondiente autovalor de la matriz $M$, $\mathbf{v}, p(\lambda)$ son autovector correspondiente autovalor de a $p(M)$. La prueba es un ejercicio simple. El polinomio $p$ puede contener potencias negativas de $z$ y un término constante, que en el caso de $p(M)$ corresponde a la adición de la constante de los tiempos de la matriz de identidad.

Dado que el determinante es el producto de los valores propios, el determinante de a $A = p(B)$ donde $p(z) = z^1 + x$ es el producto de $\prod_i \left(\lambda_i + x\right)$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de a $B$. También puede utilizar este truco para encontrar el rastro de $p(B)$, por supuesto, pero es una exageración!

Este polinomio truco es un clásico en el análisis numérico, se utiliza, por ejemplo, para probar la convergencia de Gauss-Seidel método. Ver Cheney Y Kincaid, o mi respuesta a otra pregunta relacionada con este truco.